두 곡선 사이의 넓이는 영역이 유계인 구간에서 두 곡선의 수직 또는 수평 간격을 적분하여 구합니다. 그래프를 보면 어느 곡선이 위에 있는지, 영역을 나누어야 하는지 확인할 수 있습니다.
1. 세로 조각 공식
\(y=f(x)\)가 \(y=g(x)\)보다 위에 있고 그 구간이 \(a\le x\le b\)이면
\[A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.\]
입니다. 피적분함수는 ‘위−아래’이므로 음이 아닌 세로 길이를 나타냅니다.
2. 예제: 직선과 포물선
다음 두 곡선으로 둘러싸인 넓이를 구합니다.
\[y=2x\qquad\text{그리고}\qquad y=x^2.\]
먼저 교점을 구합니다.
\[2x=x^2\Longrightarrow x(x-2)=0\Longrightarrow x=0,2.\]
\([0,2]\)에서 직선이 포물선 위에 있습니다. 예를 들어 \(x=1\)에서 \(2x=2>1=x^2\)입니다. 따라서
\[\begin{aligned}A&=\int_0^2(2x-x^2)\,dx\\&=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2\\&=4-\frac83=\frac43.\end{aligned}\]
3. 영역을 그래프로 확인하기
그래프 음영 도구를 열고 2*x와 x^2을 그린 뒤 0부터 2까지 두 곡선 사이를 음영 처리합니다. 표시된 영역이 적분 구간과 ‘위−아래’ 순서에 맞는지 확인하십시오.
4. 곡선의 위아래가 바뀌는 경우
구간 안에서 \(f-g\)의 부호가 바뀌면 \(f-g\)를 한 번만 적분할 때 부호 있는 넓이가 되어 서로 상쇄될 수 있습니다. 모든 교점에서 적분을 나눕니다.
\[A=\int_a^c|f(x)-g(x)|\,dx+\int_c^b|f(x)-g(x)|\,dx.\]
실제로는 각 부분 구간에서 위쪽 곡선을 따로 정하고 올바른 순서로 빼서 절댓값을 제거합니다.
5. 가로 조각
어떤 영역은 x를 y의 함수로 나타내는 편이 쉽습니다. 오른쪽 경계가 \(x=R(y)\), 왼쪽 경계가 \(x=L(y)\)이고 \(c\le y\le d\)이면
\[A=\int_c^d\bigl(R(y)-L(y)\bigr)\,dy.\]
세로 조각을 쓰면 여러 개의 적분이 필요한 경우 가로 조각이 유용합니다.
6. 이상적분 또는 무한 영역
수직점근선 근처의 영역은 이상적분이 필요할 수 있습니다. 그래프에서 가는 꼬리가 닫힌 것처럼 보여도 넓이가 유한하다는 보장은 없습니다. 점근적인 끝점을 변수 극한으로 바꾸고 수렴 여부를 검사한 뒤 값을 제시하십시오.
7. 수치값과 정확한 값
가능하면 교점을 정확한 값으로 구합니다. 교점이 초등적인 값으로 표현되지 않으면 수치적 근 찾기와 수치적분을 사용할 수 있지만 근삿값임을 밝히고 충분한 정밀도를 사용해야 합니다. 그래프는 수치 해법의 시작 구간을 고르는 데 도움이 됩니다.
자주 하는 실수
- 보기 창의 가장자리를 적분 구간으로 사용하는 것.
- ‘아래−위’로 빼고 음의 넓이를 그대로 받아들이는 것.
- 곡선의 위아래가 바뀌는 내부 교점을 놓치는 것.
- y에 대해 적분하면 훨씬 쉬운데 x에 대해 적분하는 것.
- 눈으로 닫혀 보이는 모든 영역의 넓이가 유한하다고 생각하는 것.
- 교점 값을 너무 일찍 반올림하는 것.
영역을 회전할 예정이라면 원판법, 와셔법, 원통껍질법으로 계속하십시오. 그래프 구성은 두 곡선 사이를 음영 처리하는 방법을 참고하십시오.