反函數把原函數的輸入與輸出關係反過來。如果 \(f(a)=b\)，那麼 \(f^{-1}(b)=a\)。在座標平面上，\(f\) 與 \(f^{-1}\) 的圖形關於直線 \(y=x\) 對稱。
1. 用代數方法求反函數
對於 \(f(x)=2x+3\)：
- 寫成 \(y=2x+3\)。
- 交換 x 與 y：\(x=2y+3\)。
- 解出 y：\(y=(x-3)/2\)。
因此
\[f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.\]
2. 繪製原函數、反函數和對稱軸
在繪圖計算機中新增三個物件：
2*x+3(x-3)/2x
可將 \(y=x\) 設定為虛線。原函數上的點 \((1,5)\)，在反函數上對應點 \((5,1)\)。
3. 用合成函數檢驗
正確的反函數在適當的定義域內應滿足
\[f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x\qquad\text{與}\qquad f^{-1}(f(x))=x\]
對於上面的線性函數：
\[2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3=x.\]
4. 並非每個函數在完整定義域上都有反函數
函數 \(f(x)=x^2\) 在全體實數上不是一對一的，因為 \(f(2)=f(-2)=4\)。把它對稱後得到關係 \(x=y^2\)，該關係有兩個分支，不能透過垂直線檢驗。
把原函數的定義域限制為 \(x\ge0\)，則
\[f^{-1}(x)=\sqrt{x},\qquad x\ge0.\]
此時只繪製 \(y=x^2\) 的右半部分，並同時繪製 \(y=\sqrt{x}\) 和 \(y=x\)。
5. 定義域與值域交換角色
若 \(f:A\to B\) 是一對一函數，並其對應範圍為值域，則
- \(f^{-1}\) 的定義域是 \(f\) 的值域；
- \(f^{-1}\) 的值域是 \(f\) 的定義域。
將圖形作對稱變換後，可以直觀看到這種交換。
6. 指數函數與對數函數互為反函數
函數 \(y=a^x\) 與 \(y=\log_a x\) 在 \(a>0\) 且 \(a\ne1\) 時互為反函數。它們的圖形關於 \(y=x\) 對稱；指數函數的水平漸近線 \(y=0\) 對應於對數函數的垂直漸近線 \(x=0\)。
常見錯誤
- 把 \(f^{-1}(x)\) 誤認為 \(1/f(x)\)。
- 交換 x 和 y 後，沒有把方程式完整解出 y。
- 忽略必要的定義域限制。
- 繪製反函數時沒有新增參考直線 \(y=x\)。
- 忘記端點和漸近線也會按同樣方式對稱。