ฟังก์ชันผกผันย้อนความสัมพันธ์ระหว่างอินพุตและเอาต์พุตของฟังก์ชันเดิม ถ้า \(f(a)=b\) แล้ว \(f^{-1}(b)=a\) บนระนาบพิกัด กราฟของ \(f\) และ \(f^{-1}\) เป็นภาพสะท้อนกันข้ามเส้น \(y=x\)
1. หาฟังก์ชันผกผันด้วยพีชคณิต
สำหรับ \(f(x)=2x+3\):
- เขียน \(y=2x+3\)
- สลับ x และ y: \(x=2y+3\)
- แก้สมการหา y: \(y=(x-3)/2\)
ดังนั้น
\[f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.\]
2. วาดฟังก์ชัน ฟังก์ชันผกผัน และเส้นสะท้อน
ใน เครื่องคำนวณกราฟ ให้เพิ่มวัตถุสามรายการ:
2*x+3(x-3)/2x
ใช้เส้นประสำหรับ \(y=x\) จุดอย่าง \((1,5)\) บนฟังก์ชันเดิมจะตรงกับ \((5,1)\) บนฟังก์ชันผกผัน
3. ตรวจสอบด้วยการประกอบฟังก์ชัน
ฟังก์ชันผกผันที่ถูกต้องต้องเป็นไปตาม
\[f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x\qquad\text{และ}\qquad f^{-1}(f(x))=x\]
บนโดเมนที่เหมาะสม สำหรับตัวอย่างเชิงเส้น:
\[2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3=x.\]
4. ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันจะมีฟังก์ชันผกผันบนโดเมนทั้งหมด
ฟังก์ชัน \(f(x)=x^2\) ไม่เป็นหนึ่งต่อหนึ่งบนจำนวนจริงทั้งหมด เพราะ \(f(2)=f(-2)=4\) ความสัมพันธ์ที่ได้จากการสะท้อนคือ \(x=y^2\) ซึ่งมีสองแขนงและไม่ผ่านการทดสอบเส้นตั้ง
จำกัดโดเมนเดิมเป็น \(x\ge0\) แล้วจะได้
\[f^{-1}(x)=\sqrt{x},\qquad x\ge0.\]
วาดเฉพาะครึ่งขวาของ \(y=x^2\) พร้อมกับ \(y=\sqrt{x}\) และ \(y=x\)
5. โดเมนและเรนจ์สลับบทบาทกัน
ถ้า \(f:A\to B\) เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึงบนเรนจ์ของตน แล้ว
- โดเมนของ \(f^{-1}\) คือเรนจ์ของ \(f\)
- เรนจ์ของ \(f^{-1}\) คือโดเมนของ \(f\)
การสลับนี้เห็นได้ง่ายหลังจากสะท้อนกราฟ
6. ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม
ฟังก์ชัน \(y=a^x\) และ \(y=\log_a x\) เป็นฟังก์ชันผกผันกันเมื่อ \(a>0\) และ \(a\ne1\) กราฟสะท้อนกันข้าม \(y=x\) เส้นกำกับแนวนอน \(y=0\) ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะกลายเป็นเส้นกำกับแนวตั้ง \(x=0\) ของฟังก์ชันลอการิทึม
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
- สับสน \(f^{-1}(x)\) กับ \(1/f(x)\)
- สลับ x กับ y แต่แก้สมการหา y ไม่สมบูรณ์
- ไม่คำนึงถึงการจำกัดโดเมนที่จำเป็น
- วาดฟังก์ชันผกผันโดยไม่มีเส้นอ้างอิง \(y=x\)
- ลืมว่าจุดปลายและเส้นกำกับก็สะท้อนด้วย
ทบทวน การแปลงกราฟฟังก์ชัน และ โดเมนกับเรนจ์ เพื่อฝึกทักษะการอ่านกราฟที่เกี่ยวข้อง