역함수는 원래 함수의 입력과 출력 관계를 뒤집습니다. \(f(a)=b\)이면 \(f^{-1}(b)=a\)입니다. 좌표평면에서 \(f\)와 \(f^{-1}\)의 그래프는 직선 \(y=x\)에 대해 서로 대칭입니다.
1. 대수적으로 역함수 구하기
\(f(x)=2x+3\)인 경우:
- \(y=2x+3\)으로 씁니다.
- x와 y를 바꿉니다: \(x=2y+3\).
- y에 대해 풉니다: \(y=(x-3)/2\).
따라서
\[f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.\]
2. 함수, 역함수, 대칭축 그리기
그래프 계산기에서 다음 세 객체를 추가합니다.
2*x+3(x-3)/2x
\(y=x\)는 점선으로 표시하십시오. 원래 함수의 점 \((1,5)\)는 역함수의 점 \((5,1)\)에 대응합니다.
3. 합성으로 확인하기
올바른 역함수는 적절한 정의역에서
\[f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x\qquad\text{그리고}\qquad f^{-1}(f(x))=x\]
를 만족합니다. 선형 함수 예에서는
\[2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3=x.\]
4. 모든 함수가 전체 정의역에서 역함수를 갖는 것은 아니다
\(f(x)=x^2\)는 \(f(2)=f(-2)=4\)이므로 실수 전체에서 일대일 함수가 아닙니다. 반사된 관계식 \(x=y^2\)는 두 갈래를 가지며 수직선 판정을 통과하지 못합니다.
원래 정의역을 \(x\ge0\)으로 제한하면
\[f^{-1}(x)=\sqrt{x},\qquad x\ge0.\]
입니다. \(y=x^2\)의 오른쪽 절반만 \(y=\sqrt{x}\), \(y=x\)와 함께 그립니다.
5. 정의역과 치역이 서로 바뀐다
\(f:A\to B\)가 일대일이고 그 치역 위로 전사이면,
- \(f^{-1}\)의 정의역은 \(f\)의 치역입니다.
- \(f^{-1}\)의 치역은 \(f\)의 정의역입니다.
그래프를 대칭시키면 이 교환을 쉽게 확인할 수 있습니다.
6. 지수함수와 로그함수의 역함수
함수 \(y=a^x\)와 \(y=\log_a x\)는 \(a>0\), \(a\ne1\)일 때 서로 역함수입니다. 두 그래프는 \(y=x\)에 대해 대칭이고, 지수함수의 수평점근선 \(y=0\)은 로그함수의 수직점근선 \(x=0\)으로 바뀝니다.
자주 하는 실수
- \(f^{-1}(x)\)를 \(1/f(x)\)와 혼동하는 것.
- x와 y를 바꾼 뒤 y에 대해 끝까지 풀지 않는 것.
- 필요한 정의역 제한을 무시하는 것.
- 기준선 \(y=x\) 없이 역함수만 그리는 것.
- 끝점과 점근선도 대칭된다는 사실을 잊는 것.