逆関数は、元の関数の入力と出力の対応を逆にします。\(f(a)=b\) ならば \(f^{-1}(b)=a\) です。座標平面上で、\(f\) と \(f^{-1}\) のグラフは直線 \(y=x\) に関して対称です。
1. 代数的に逆関数を求める
\(f(x)=2x+3\) の場合：
- \(y=2x+3\) と書きます。
- xとyを入れ替えます：\(x=2y+3\)。
- yについて解きます：\(y=(x-3)/2\)。
したがって
\[f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.\]
2. 関数・逆関数・対称軸を描く
グラフ電卓で次の3つを追加します。
2*x+3(x-3)/2x
\(y=x\) は破線にすると見やすくなります。元のグラフ上の \((1,5)\) は、逆関数上の \((5,1)\) に対応します。
3. 合成で確認する
正しい逆関数は、適切な定義域で
\[f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x\qquad\text{および}\qquad f^{-1}(f(x))=x\]
を満たします。線形関数の例では、
\[2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3=x.\]
4. すべての関数が定義域全体で逆関数をもつわけではない
\(f(x)=x^2\) は \(f(2)=f(-2)=4\) なので、実数全体では1対1ではありません。対称移動した関係式 \(x=y^2\) は2つの枝をもち、垂直線判定を満たしません。
元の定義域を \(x\ge0\) に制限すると、
\[f^{-1}(x)=\sqrt{x},\qquad x\ge0.\]
となります。\(y=x^2\) の右半分だけを \(y=\sqrt{x}\) と \(y=x\) とともに描きます。
5. 定義域と値域が入れ替わる
\(f:A\to B\) が1対1で、その値域への全射なら、
- \(f^{-1}\) の定義域は \(f\) の値域です。
- \(f^{-1}\) の値域は \(f\) の定義域です。
グラフを対称移動すると、この交換が視覚的に分かります。
6. 指数関数と対数関数の逆関数
関数 \(y=a^x\) と \(y=\log_a x\) は、\(a>0\)、\(a\ne1\) のとき互いに逆関数です。グラフは \(y=x\) に関して対称で、指数関数の水平漸近線 \(y=0\) は対数関数の垂直漸近線 \(x=0\) に移ります。
よくある間違い
- \(f^{-1}(x)\) と \(1/f(x)\) を混同する。
- xとyを入れ替えた後、yについて最後まで解かない。
- 必要な定義域制限を無視する。
- 基準線 \(y=x\) を描かずに逆関数だけを確認する。
- 端点や漸近線も対称移動することを忘れる。