Fungsi invers membalik hubungan masukan-keluaran dari fungsi asal. Jika \(f(a)=b\), maka \(f^{-1}(b)=a\). Pada bidang koordinat, grafik \(f\) dan \(f^{-1}\) merupakan pencerminan satu sama lain terhadap garis \(y=x\).
1. Tentukan invers secara aljabar
Untuk \(f(x)=2x+3\):
- Tulis \(y=2x+3\).
- Tukar x dan y: \(x=2y+3\).
- Selesaikan terhadap y: \(y=(x-3)/2\).
Jadi
\[f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.\]
2. Gambar fungsi, invers, dan garis cerminnya
Di Kalkulator Grafik, tambahkan tiga objek:
2*x+3(x-3)/2x
Gunakan gaya garis putus-putus untuk \(y=x\). Titik seperti \((1,5)\) pada fungsi asal berpasangan dengan \((5,1)\) pada fungsi invers.
3. Periksa dengan komposisi
Invers yang benar memenuhi
\[f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x\qquad\text{dan}\qquad f^{-1}(f(x))=x\]
pada domain yang sesuai. Untuk contoh linear:
\[2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3=x.\]
4. Tidak setiap fungsi memiliki fungsi invers pada seluruh domainnya
Fungsi \(f(x)=x^2\) tidak satu-satu pada seluruh bilangan real karena \(f(2)=f(-2)=4\). Relasi hasil pencerminannya adalah \(x=y^2\), yang memiliki dua cabang dan tidak memenuhi uji garis vertikal.
Batasi domain fungsi asal pada \(x\ge0\). Maka
\[f^{-1}(x)=\sqrt{x},\qquad x\ge0.\]
Gambar hanya bagian kanan \(y=x^2\) bersama \(y=\sqrt{x}\) dan \(y=x\).
5. Domain dan daerah hasil bertukar peran
Jika \(f:A\to B\) bersifat satu-satu dan onto terhadap daerah hasilnya, maka
- domain \(f^{-1}\) adalah daerah hasil \(f\);
- daerah hasil \(f^{-1}\) adalah domain \(f\).
Pertukaran ini mudah terlihat setelah grafik dicerminkan.
6. Invers fungsi eksponensial dan logaritmik
Fungsi \(y=a^x\) dan \(y=\log_a x\) saling invers untuk \(a>0\), \(a\ne1\). Grafiknya saling mencerminkan terhadap \(y=x\); asimptot horizontal \(y=0\) dari fungsi eksponensial menjadi asimptot vertikal \(x=0\) dari fungsi logaritmik.
Kesalahan umum
- Menyamakan \(f^{-1}(x)\) dengan \(1/f(x)\).
- Menukar x dan y tetapi tidak menyelesaikan sepenuhnya terhadap y.
- Mengabaikan pembatasan domain yang diperlukan.
- Menggambar invers tanpa garis acuan \(y=x\).
- Lupa bahwa titik ujung dan asimptot juga ikut dicerminkan.
Tinjau transformasi fungsi dan domain serta daerah hasil untuk keterampilan membaca grafik yang berkaitan.