Eine Umkehrfunktion kehrt die Zuordnung zwischen Eingabe und Ausgabe der ursprünglichen Funktion um. Gilt \(f(a)=b\), dann gilt \(f^{-1}(b)=a\). Im Koordinatensystem sind die Graphen von \(f\) und \(f^{-1}\) Spiegelbilder an der Geraden \(y=x\).
1. Eine Umkehrfunktion algebraisch bestimmen
Für \(f(x)=2x+3\):
- Schreiben Sie \(y=2x+3\).
- Vertauschen Sie x und y: \(x=2y+3\).
- Lösen Sie nach y auf: \(y=(x-3)/2\).
Damit gilt
\[f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.\]
2. Funktion, Umkehrfunktion und Spiegelachse zeichnen
Fügen Sie im Grafikrechner drei Objekte hinzu:
2*x+3(x-3)/2x
Stellen Sie \(y=x\) gestrichelt dar. Ein Punkt wie \((1,5)\) auf dem ursprünglichen Graphen entspricht dem Punkt \((5,1)\) auf dem Graphen der Umkehrfunktion.
3. Durch Verkettung prüfen
Eine korrekte Umkehrfunktion erfüllt
\[f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x\qquad\text{und}\qquad f^{-1}(f(x))=x\]
auf den jeweils passenden Definitionsbereichen. Für das lineare Beispiel:
\[2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3=x.\]
4. Nicht jede Funktion besitzt auf ihrem gesamten Definitionsbereich eine Umkehrfunktion
Die Funktion \(f(x)=x^2\) ist auf den reellen Zahlen nicht injektiv, weil \(f(2)=f(-2)=4\) gilt. Die gespiegelte Relation lautet \(x=y^2\), besitzt zwei Zweige und besteht den Vertikallinientest nicht.
Beschränken Sie den ursprünglichen Definitionsbereich auf \(x\ge0\). Dann gilt
\[f^{-1}(x)=\sqrt{x},\qquad x\ge0.\]
Zeichnen Sie nur die rechte Hälfte von \(y=x^2\) zusammen mit \(y=\sqrt{x}\) und \(y=x\).
5. Definitionsbereich und Wertebereich tauschen ihre Rollen
Ist \(f:A\to B\) injektiv und surjektiv auf ihren Wertebereich, dann gilt:
- Der Definitionsbereich von \(f^{-1}\) ist der Wertebereich von \(f\).
- Der Wertebereich von \(f^{-1}\) ist der Definitionsbereich von \(f\).
Dieser Tausch ist nach der Spiegelung des Graphen leicht zu erkennen.
6. Umkehrfunktionen von Exponential- und Logarithmusfunktionen
Die Funktionen \(y=a^x\) und \(y=\log_a x\) sind für \(a>0\), \(a\ne1\) zueinander invers. Ihre Graphen sind an \(y=x\) gespiegelt; die waagerechte Asymptote \(y=0\) der Exponentialfunktion wird zur senkrechten Asymptote \(x=0\) der Logarithmusfunktion.
Häufige Fehler
- \(f^{-1}(x)\) mit \(1/f(x)\) verwechseln.
- x und y vertauschen, aber nicht vollständig nach y auflösen.
- Eine notwendige Definitionsbereichsbeschränkung ignorieren.
- Die Umkehrfunktion ohne die Bezugsgerade \(y=x\) zeichnen.
- Vergessen, dass auch Randpunkte und Asymptoten gespiegelt werden.
Wiederholen Sie Funktionstransformationen sowie Definitionsbereich und Wertebereich, um die zugehörigen Fertigkeiten beim Lesen von Graphen zu festigen.