Jak narysować funkcję odwrotną i odbicie względem y = x?

Funkcja odwrotna odwraca zależność argument–wartość funkcji wyjściowej. Jeśli \(f(a)=b\), to \(f^{-1}(b)=a\). Na płaszczyźnie współrzędnych wykresy \(f\) i \(f^{-1}\) są swoimi odbiciami względem prostej \(y=x\).

1. Wyznacz funkcję odwrotną algebraicznie

Dla \(f(x)=2x+3\):

1. Zapisz \(y=2x+3\).
2. Zamień x i y: \(x=2y+3\).
3. Rozwiąż względem y: \(y=(x-3)/2\).

Zatem

\[f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.\]

2. Narysuj funkcję, jej odwrotność i prostą symetrii

W kalkulatorze graficznym dodaj trzy obiekty:

• 2*x+3
• (x-3)/2
• x

Dla \(y=x\) zastosuj linię przerywaną. Punkt taki jak \((1,5)\) na wykresie wyjściowym odpowiada punktowi \((5,1)\) na wykresie odwrotnym.

3. Sprawdź przez złożenie

Poprawna funkcja odwrotna spełnia

\[f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x\qquad\text{i}\qquad f^{-1}(f(x))=x\]

na odpowiednich dziedzinach. Dla przykładu liniowego:

\[2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3=x.\]

4. Nie każda funkcja ma funkcję odwrotną na całej dziedzinie

Funkcja \(f(x)=x^2\) nie jest różnowartościowa na całym zbiorze liczb rzeczywistych, ponieważ \(f(2)=f(-2)=4\). Jej odbita relacja to \(x=y^2\), która ma dwie gałęzie i nie spełnia testu prostej pionowej.

Ogranicz pierwotną dziedzinę do \(x\ge0\). Wtedy

\[f^{-1}(x)=\sqrt{x},\qquad x\ge0.\]

Narysuj tylko prawą połowę \(y=x^2\) razem z \(y=\sqrt{x}\) oraz \(y=x\).

5. Dziedzina i zbiór wartości zamieniają się rolami

Jeżeli \(f:A\to B\) jest różnowartościowa i odwzorowuje na swój zbiór wartości, to

• dziedziną \(f^{-1}\) jest zbiór wartości \(f\);
• zbiorem wartości \(f^{-1}\) jest dziedzina \(f\).

Ta zamiana jest łatwo widoczna po odbiciu wykresu.

6. Funkcje odwrotne do funkcji wykładniczych i logarytmicznych

Funkcje \(y=a^x\) i \(y=\log_a x\) są odwrotne dla \(a>0\), \(a\ne1\). Ich wykresy odbijają się względem \(y=x\); asymptota pozioma \(y=0\) funkcji wykładniczej staje się asymptotą pionową \(x=0\) logarytmu.

Najczęstsze błędy

• Mylenie \(f^{-1}(x)\) z \(1/f(x)\).
• Zamiana x i y bez pełnego rozwiązania względem y.
• Ignorowanie koniecznego ograniczenia dziedziny.
• Rysowanie funkcji odwrotnej bez prostej odniesienia \(y=x\).
• Zapominanie, że końce i asymptoty także ulegają odbiciu.

Przejrzyj przekształcenia funkcji oraz dziedzinę i zbiór wartości, aby rozwinąć powiązane umiejętności odczytywania wykresów.