Uma função inversa reverte a relação entre entrada e saída da função original. Se \(f(a)=b\), então \(f^{-1}(b)=a\). No plano cartesiano, os gráficos de \(f\) e \(f^{-1}\) são reflexos um do outro em relação à reta \(y=x\).
1. Encontre a inversa algebricamente
Para \(f(x)=2x+3\):
- Escreva \(y=2x+3\).
- Troque x por y e y por x: \(x=2y+3\).
- Isole y: \(y=(x-3)/2\).
Portanto,
\[f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.\]
2. Represente a função, a inversa e a reta de simetria
Na Calculadora Gráfica, adicione três objetos:
2*x+3(x-3)/2x
Use um estilo tracejado para \(y=x\). Um ponto como \((1,5)\) no gráfico original corresponde a \((5,1)\) no gráfico da inversa.
3. Verifique por composição
Uma inversa correta satisfaz
\[f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x\qquad\text{e}\qquad f^{-1}(f(x))=x\]
nos domínios adequados. Para o exemplo linear:
\[2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3=x.\]
4. Nem toda função tem inversa em todo o domínio
A função \(f(x)=x^2\) não é injetora em todos os números reais, pois \(f(2)=f(-2)=4\). A relação refletida é \(x=y^2\), que tem dois ramos e não passa no teste da reta vertical.
Restrinja o domínio original a \(x\ge0\). Então
\[f^{-1}(x)=\sqrt{x},\qquad x\ge0.\]
Represente apenas a metade direita de \(y=x^2\), junto com \(y=\sqrt{x}\) e \(y=x\).
5. Domínio e imagem trocam de papel
Se \(f:A\to B\) é injetora e sobrejetora sobre sua imagem, então:
- o domínio de \(f^{-1}\) é a imagem de \(f\);
- a imagem de \(f^{-1}\) é o domínio de \(f\).
Essa troca fica evidente ao refletir o gráfico.
6. Inversas de funções exponenciais e logarítmicas
As funções \(y=a^x\) e \(y=\log_a x\) são inversas para \(a>0\), \(a\ne1\). Seus gráficos são simétricos em relação a \(y=x\); a assíntota horizontal \(y=0\) da exponencial se transforma na assíntota vertical \(x=0\) do logaritmo.
Erros comuns
- Confundir \(f^{-1}(x)\) com \(1/f(x)\).
- Trocar x e y sem isolar completamente y.
- Ignorar uma restrição de domínio necessária.
- Representar a inversa sem a reta de referência \(y=x\).
- Esquecer que extremos e assíntotas também são refletidos.
Reveja transformações de funções e domínio e imagem para habilidades relacionadas de leitura de gráficos.