Een inverse functie keert de invoer-uitvoerrelatie van de oorspronkelijke functie om. Als \(f(a)=b\), dan geldt \(f^{-1}(b)=a\). In het coördinatenvlak zijn de grafieken van \(f\) en \(f^{-1}\) elkaars spiegelbeeld in de lijn \(y=x\).
1. Bepaal een inverse algebraïsch
Voor \(f(x)=2x+3\):
- Schrijf \(y=2x+3\).
- Verwissel x en y: \(x=2y+3\).
- Los op naar y: \(y=(x-3)/2\).
Daarom
\[f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.\]
2. Teken de functie, de inverse en de spiegellijn
Voeg in de grafische rekenmachine drie objecten toe:
2*x+3(x-3)/2x
Gebruik een gestreepte stijl voor \(y=x\). Een punt zoals \((1,5)\) op de oorspronkelijke grafiek komt overeen met \((5,1)\) op de inverse.
3. Controleer met samenstelling
Een juiste inverse voldoet aan
\[f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x\qquad\text{and}\qquad f^{-1}(f(x))=x\]
op de juiste domeinen. Voor het lineaire voorbeeld:
\[2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3=x.\]
4. Niet elke functie heeft op haar volledige domein een inverse functie
De functie \(f(x)=x^2\) is op alle reële getallen niet één-op-één, omdat \(f(2)=f(-2)=4\). De gespiegelde relatie is \(x=y^2\), die twee takken heeft en niet aan de verticale-lijntest voldoet.
Beperk het oorspronkelijke domein tot \(x\ge0\). Dan
\[f^{-1}(x)=\sqrt{x},\qquad x\ge0.\]
Teken alleen de rechterhelft van \(y=x^2\), samen met \(y=\sqrt{x}\) en \(y=x\).
5. Domein en bereik wisselen van rol
Als \(f:A\to B\) één-op-één is en op haar bereik afbeeldt, dan
- is het domein van \(f^{-1}\) het bereik van \(f\);
- is het bereik van \(f^{-1}\) het domein van \(f\).
Deze verwisseling is na het spiegelen van de grafiek duidelijk zichtbaar.
6. Inversen van exponentiële en logaritmische functies
De functies \(y=a^x\) en \(y=\log_a x\) zijn inversen voor \(a>0\), \(a\ne1\). Hun grafieken spiegelen in \(y=x\); de horizontale asymptoot \(y=0\) van de exponentiële functie wordt de verticale asymptoot \(x=0\) van de logaritme.
Veelgemaakte fouten
- \(f^{-1}(x)\) verwarren met \(1/f(x)\).
- x en y verwisselen maar niet volledig naar y oplossen.
- Een noodzakelijke domeinbeperking negeren.
- De inverse tekenen zonder de referentielijn \(y=x\).
- Vergeten dat eindpunten en asymptoten eveneens worden gespiegeld.
Bekijk functietransformaties en domein en bereik voor verwante vaardigheden bij het lezen van grafieken.