Обратная функция меняет местами вход и выход исходной функции. Если \(f(a)=b\), то \(f^{-1}(b)=a\). На координатной плоскости графики \(f\) и \(f^{-1}\) симметричны относительно прямой \(y=x\).
1. Найдите обратную функцию алгебраически
Для \(f(x)=2x+3\):
- Запишите \(y=2x+3\).
- Поменяйте x и y местами: \(x=2y+3\).
- Выразите y: \(y=(x-3)/2\).
Следовательно,
\[f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.\]
2. Постройте функцию, обратную функцию и ось симметрии
В графическом калькуляторе добавьте три объекта:
2*x+3(x-3)/2x
Для \(y=x\) используйте пунктир. Точке \((1,5)\) исходного графика соответствует точка \((5,1)\) обратного.
3. Проверьте с помощью композиции
Правильная обратная функция удовлетворяет
\[f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x\qquad\text{и}\qquad f^{-1}(f(x))=x\]
на соответствующих областях определения. Для линейного примера:
\[2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3=x.\]
4. Не каждая функция имеет обратную на всей области определения
Функция \(f(x)=x^2\) не является взаимно однозначной на всех действительных числах, потому что \(f(2)=f(-2)=4\). Отражённое отношение \(x=y^2\) имеет две ветви и не проходит проверку вертикальной прямой.
Ограничьте исходную область условием \(x\ge0\). Тогда
\[f^{-1}(x)=\sqrt{x},\qquad x\ge0.\]
Постройте только правую половину \(y=x^2\) вместе с \(y=\sqrt{x}\) и \(y=x\).
5. Область определения и область значений меняются местами
Если \(f:A\to B\) взаимно однозначна на своей области значений, то
- область определения \(f^{-1}\) равна области значений \(f\);
- область значений \(f^{-1}\) равна области определения \(f\).
Этот обмен хорошо виден после отражения графика.
6. Обратность показательной и логарифмической функций
Функции \(y=a^x\) и \(y=\log_a x\) взаимно обратны при \(a>0\), \(a\ne1\). Их графики симметричны относительно \(y=x\); горизонтальная асимптота \(y=0\) показательной функции становится вертикальной асимптотой \(x=0\) логарифма.
Типичные ошибки
- Смешение \(f^{-1}(x)\) и \(1/f(x)\).
- Перестановка x и y без полного выражения y.
- Игнорирование необходимого ограничения области определения.
- Построение обратной функции без опорной прямой \(y=x\).
- Забывание того, что концы и асимптоты тоже отражаются.
Повторите преобразования графиков функций и область определения и область значений.