Ters fonksiyon, asıl fonksiyonun girdi ve çıktı ilişkisini tersine çevirir. \(f(a)=b\) ise \(f^{-1}(b)=a\) olur. Koordinat düzleminde \(f\) ve \(f^{-1}\) grafikleri \(y=x\) doğrusuna göre birbirinin yansımasıdır.
1. Tersi cebirsel olarak bulun
\(f(x)=2x+3\) için:
- \(y=2x+3\) yazın.
- x ile y’yi değiştirin: \(x=2y+3\).
- y’yi yalnız bırakın: \(y=(x-3)/2\).
Dolayısıyla
\[f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.\]
2. Fonksiyonu, tersini ve yansıma doğrusunu çizin
Grafik Hesap Makinesine üç nesne ekleyin:
2*x+3(x-3)/2x
\(y=x\) için kesikli çizgi kullanın. Asıl grafik üzerindeki \((1,5)\) noktasına ters grafikte \((5,1)\) karşılık gelir.
3. Bileşkeyle denetleyin
Doğru bir ters fonksiyon uygun tanım kümelerinde
\[f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x\qquad\text{and}\qquad f^{-1}(f(x))=x\]
eşitliklerini sağlar. Doğrusal örnek için:
\[2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3=x.\]
4. Her fonksiyonun tüm tanım kümesinde ters fonksiyonu yoktur
\(f(x)=x^2\) tüm gerçek sayılarda bire bir değildir; çünkü \(f(2)=f(-2)=4\). Yansıtılmış bağıntı \(x=y^2\) iki dala sahiptir ve düşey doğru testini geçmez.
Asıl fonksiyonun tanım kümesini \(x\ge0\) ile sınırlandırın. Bu durumda
\[f^{-1}(x)=\sqrt{x},\qquad x\ge0.\]
\(y=x^2\) grafiğinin yalnız sağ yarısını, \(y=\sqrt{x}\) ve \(y=x\) ile birlikte çizin.
5. Tanım ve görüntü kümeleri yer değiştirir
\(f:A\to B\) fonksiyonu bire bir ve görüntü kümesine örten ise:
- \(f^{-1}\) fonksiyonunun tanım kümesi, \(f\) fonksiyonunun görüntü kümesidir;
- \(f^{-1}\) fonksiyonunun görüntü kümesi, \(f\) fonksiyonunun tanım kümesidir.
Bu değişim grafiğin yansıtılmasında kolayca görülür.
6. Üstel ve logaritmik fonksiyonların tersliği
\(y=a^x\) ile \(y=\log_a x\), \(a>0\) ve \(a\ne1\) için birbirinin tersidir. Grafikler \(y=x\) doğrusuna göre yansır; üstel fonksiyonun \(y=0\) yatay asimptotu, logaritmanın \(x=0\) düşey asimptotuna dönüşür.
Yaygın hatalar
- \(f^{-1}(x)\) ile \(1/f(x)\) ifadelerini karıştırmak.
- x ile y’yi değiştirip y’yi tamamen yalnız bırakmamak.
- Gerekli tanım kümesi kısıtını göz ardı etmek.
- Ters fonksiyonu \(y=x\) başvuru doğrusu olmadan çizmek.
- Uç noktaların ve asimptotların da yansıtıldığını unutmak.
İlgili grafik okuma becerileri için fonksiyon grafiği dönüşümlerini ve tanım ile görüntü kümelerini gözden geçirin.