Una funzione inversa scambia il ruolo degli input e degli output della funzione originale. Se \(f(a)=b\), allora \(f^{-1}(b)=a\). Nel piano cartesiano, i grafici di \(f\) e \(f^{-1}\) sono simmetrici rispetto alla retta \(y=x\).
1. Trova l’inversa algebricamente
Per \(f(x)=2x+3\):
- Scrivi \(y=2x+3\).
- Scambia x e y: \(x=2y+3\).
- Risolvi rispetto a y: \(y=(x-3)/2\).
Quindi
\[f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.\]
2. Rappresenta la funzione, l’inversa e la retta di simmetria
Nella Calcolatrice grafica, aggiungi tre oggetti:
2*x+3(x-3)/2x
Usa uno stile tratteggiato per \(y=x\). Un punto come \((1,5)\) sul grafico originale corrisponde al punto \((5,1)\) sul grafico dell’inversa.
3. Verifica mediante composizione
Un’inversa corretta soddisfa
\[f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x\qquad\text{e}\qquad f^{-1}(f(x))=x\]
nei domini appropriati. Per l’esempio lineare:
\[2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3=x.\]
4. Non ogni funzione ha un’inversa su tutto il dominio
La funzione \(f(x)=x^2\) non è iniettiva su tutti i reali, perché \(f(2)=f(-2)=4\). La relazione riflessa è \(x=y^2\), che ha due rami e non supera il test della retta verticale.
Restringi il dominio originale a \(x\ge0\). Allora
\[f^{-1}(x)=\sqrt{x},\qquad x\ge0.\]
Rappresenta soltanto la metà destra di \(y=x^2\) insieme a \(y=\sqrt{x}\) e \(y=x\).
5. Dominio e immagine si scambiano
Se \(f:A\to B\) è iniettiva e suriettiva sulla propria immagine, allora:
- il dominio di \(f^{-1}\) è l’immagine di \(f\);
- l’immagine di \(f^{-1}\) è il dominio di \(f\).
Questo scambio è facile da vedere dopo aver riflesso il grafico.
6. Inverse delle funzioni esponenziali e logaritmiche
Le funzioni \(y=a^x\) e \(y=\log_a x\) sono inverse per \(a>0\), \(a\ne1\). I loro grafici sono simmetrici rispetto a \(y=x\); l’asintoto orizzontale \(y=0\) dell’esponenziale diventa l’asintoto verticale \(x=0\) del logaritmo.
Errori comuni
- Confondere \(f^{-1}(x)\) con \(1/f(x)\).
- Scambiare x e y senza risolvere completamente rispetto a y.
- Ignorare una necessaria restrizione di dominio.
- Rappresentare l’inversa senza la retta di riferimento \(y=x\).
- Dimenticare che anche estremi e asintoti vengono riflessi.
Ripassa le trasformazioni di funzione e dominio e immagine per le abilità di lettura del grafico collegate.