Hàm ngược đảo ngược quan hệ đầu vào–đầu ra của hàm ban đầu. Nếu \(f(a)=b\) thì \(f^{-1}(b)=a\). Trên mặt phẳng tọa độ, đồ thị của \(f\) và \(f^{-1}\) đối xứng với nhau qua đường thẳng \(y=x\).
1. Tìm hàm ngược bằng đại số
Với \(f(x)=2x+3\):
- Viết \(y=2x+3\).
- Đổi chỗ x và y: \(x=2y+3\).
- Giải theo y: \(y=(x-3)/2\).
Do đó
\[f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.\]
2. Vẽ hàm số, hàm ngược và đường đối xứng
Trong Máy tính vẽ đồ thị, hãy thêm ba đối tượng:
2*x+3(x-3)/2x
Dùng nét đứt cho \(y=x\). Điểm \((1,5)\) trên đồ thị ban đầu tương ứng với điểm \((5,1)\) trên đồ thị hàm ngược.
3. Kiểm tra bằng phép hợp
Một hàm ngược đúng thỏa mãn
\[f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x\qquad\text{và}\qquad f^{-1}(f(x))=x\]
trên các tập xác định phù hợp. Với ví dụ tuyến tính:
\[2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3=x.\]
4. Không phải mọi hàm đều có hàm ngược trên toàn bộ tập xác định
Hàm \(f(x)=x^2\) không đơn ánh trên toàn bộ tập số thực vì \(f(2)=f(-2)=4\). Quan hệ đối xứng của nó là \(x=y^2\), có hai nhánh và không vượt qua phép kiểm tra đường thẳng đứng.
Hãy giới hạn tập xác định ban đầu bởi \(x\ge0\). Khi đó
\[f^{-1}(x)=\sqrt{x},\qquad x\ge0.\]
Chỉ vẽ nửa bên phải của \(y=x^2\) cùng với \(y=\sqrt{x}\) và \(y=x\).
5. Tập xác định và tập giá trị đổi vai trò
Nếu \(f:A\to B\) là đơn ánh và toàn ánh lên tập giá trị của nó thì
- tập xác định của \(f^{-1}\) là tập giá trị của \(f\);
- tập giá trị của \(f^{-1}\) là tập xác định của \(f\).
Sự hoán đổi này rất dễ quan sát sau khi phản xạ đồ thị.
6. Hàm ngược của hàm mũ và hàm logarit
Các hàm \(y=a^x\) và \(y=\log_a x\) là hàm ngược của nhau khi \(a>0\), \(a\ne1\). Đồ thị của chúng đối xứng qua \(y=x\); tiệm cận ngang \(y=0\) của hàm mũ trở thành tiệm cận đứng \(x=0\) của hàm logarit.
Lỗi thường gặp
- Nhầm \(f^{-1}(x)\) với \(1/f(x)\).
- Đổi chỗ x và y nhưng chưa giải hoàn toàn theo y.
- Bỏ qua giới hạn tập xác định bắt buộc.
- Vẽ hàm ngược mà không có đường tham chiếu \(y=x\).
- Quên rằng các đầu mút và đường tiệm cận cũng được phản xạ.
Hãy xem lại các phép biến đổi đồ thị hàm số và tập xác định cùng tập giá trị để củng cố kỹ năng đọc đồ thị liên quan.