تعكس الدالة العكسية علاقة المدخلات بالمخرجات في الدالة الأصلية. فإذا كان \(f(a)=b\)، فإن \(f^{-1}(b)=a\). وعلى المستوى الإحداثي يكون رسمَا \(f\) و\(f^{-1}\) انعكاسين أحدهما للآخر حول المستقيم \(y=x\).
1. أوجد العكس جبريًا
للدالة \(f(x)=2x+3\):
- اكتب \(y=2x+3\).
- بدّل x وy: \(x=2y+3\).
- حل بالنسبة إلى y: \(y=(x-3)/2\).
إذن
\[f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.\]
2. ارسم الدالة وعكسها وخط الانعكاس
في حاسبة الرسوم البيانية أضف ثلاثة كائنات:
2*x+3(x-3)/2x
اجعل \(y=x\) بخط متقطع. تقابل النقطة \((1,5)\) على الدالة الأصلية النقطة \((5,1)\) على الدالة العكسية.
3. تحقّق بالتركيب
يحقق العكس الصحيح
\[f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x\qquad\text{و}\qquad f^{-1}(f(x))=x\]
على المجالات المناسبة. في المثال الخطي:
\[2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3=x.\]
4. ليست لكل دالة دالة عكسية على مجالها الكامل
الدالة \(f(x)=x^2\) ليست واحدًا لواحد على جميع الأعداد الحقيقية لأن \(f(2)=f(-2)=4\). وعلاقتها المنعكسة هي \(x=y^2\)، ولها فرعان ولا تجتاز اختبار الخط الرأسي.
قيّد المجال الأصلي بالشرط \(x\ge0\). عندئذ
\[f^{-1}(x)=\sqrt{x},\qquad x\ge0.\]
ارسم النصف الأيمن فقط من \(y=x^2\) مع \(y=\sqrt{x}\) و\(y=x\).
5. يتبادل المجال والمدى الدورين
إذا كانت \(f:A\to B\) واحدًا لواحد وعلى مداها، فإن
- مجال \(f^{-1}\) هو مدى \(f\)؛
- مدى \(f^{-1}\) هو مجال \(f\).
يظهر هذا التبادل بوضوح بعد انعكاس الرسم.
6. عكس الدوال الأسية واللوغاريتمية
الدالتان \(y=a^x\) و\(y=\log_a x\) عكسيتان عندما \(a>0\) و\(a\ne1\). ينعكس رسمهما حول \(y=x\)؛ فيتحول المقارب الأفقي \(y=0\) للدالة الأسية إلى المقارب الرأسي \(x=0\) للدالة اللوغاريتمية.
أخطاء شائعة
- الخلط بين \(f^{-1}(x)\) و\(1/f(x)\).
- تبديل x وy من غير إكمال الحل بالنسبة إلى y.
- إهمال قيد مجال مطلوب.
- رسم العكس من غير المستقيم المرجعي \(y=x\).
- نسيان أن نقاط النهاية والمقاربات تنعكس أيضًا.
راجع تحويلات الدوال والمجال والمدى لمهارات قراءة الرسوم ذات الصلة.