Una función inversa invierte la relación entre las entradas y las salidas de la función original. Si \(f(a)=b\), entonces \(f^{-1}(b)=a\). En el plano cartesiano, las gráficas de \(f\) y \(f^{-1}\) son simétricas respecto de la recta \(y=x\).
1. Halla una inversa algebraicamente
Para \(f(x)=2x+3\):
- Escribe \(y=2x+3\).
- Intercambia x e y: \(x=2y+3\).
- Despeja y: \(y=(x-3)/2\).
Por tanto,
\[f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.\]
2. Grafica la función, la inversa y la recta de simetría
En la calculadora gráfica, añade tres objetos:
2*x+3(x-3)/2x
Usa un estilo discontinuo para \(y=x\). Un punto como \((1,5)\) de la función original corresponde al punto \((5,1)\) de la inversa.
3. Comprueba mediante composición
Una inversa correcta satisface
\[f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x\qquad\text{y}\qquad f^{-1}(f(x))=x\]
en los dominios apropiados. Para el ejemplo lineal:
\[2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3=x.\]
4. No toda función tiene inversa en todo su dominio
La función \(f(x)=x^2\) no es inyectiva en todos los números reales, porque \(f(2)=f(-2)=4\). Su relación reflejada es \(x=y^2\), que tiene dos ramas y no supera la prueba de la recta vertical.
Restringe el dominio original a \(x\ge0\). Entonces
\[f^{-1}(x)=\sqrt{x},\qquad x\ge0.\]
Grafica solo la mitad derecha de \(y=x^2\), junto con \(y=\sqrt{x}\) y \(y=x\).
5. El dominio y el rango intercambian sus papeles
Si \(f:A\to B\) es inyectiva y sobreyectiva sobre su rango, entonces:
- el dominio de \(f^{-1}\) es el rango de \(f\);
- el rango de \(f^{-1}\) es el dominio de \(f\).
Este intercambio se observa con claridad después de reflejar la gráfica.
6. Inversas de funciones exponenciales y logarítmicas
Las funciones \(y=a^x\) y \(y=\log_a x\) son inversas para \(a>0\), \(a\ne1\). Sus gráficas se reflejan respecto de \(y=x\); la asíntota horizontal \(y=0\) de la exponencial se convierte en la asíntota vertical \(x=0\) del logaritmo.
Errores frecuentes
- Confundir \(f^{-1}(x)\) con \(1/f(x)\).
- Intercambiar x e y sin despejar completamente y.
- Ignorar una restricción de dominio necesaria.
- Graficar la inversa sin la recta de referencia \(y=x\).
- Olvidar que los extremos y las asíntotas también se reflejan.
Repasa las transformaciones de funciones y el dominio y el rango para reforzar estas habilidades de lectura gráfica.