Transformaciones de funciones: traslaciones, reflexiones y escalas

Las transformaciones permiten predecir una nueva gráfica a partir de una función básica sin calcular todos sus puntos desde cero.

Forma general

Un modelo útil es y=a·f(b(x-h))+k:

• h controla el desplazamiento horizontal;
• k controla el desplazamiento vertical;
• a produce escala vertical y posible reflexión;
• b controla la escala horizontal.

Traslaciones horizontales y verticales

A partir de f(x)=x^2:

• (x-3)^2 mueve la parábola 3 unidades a la derecha;
• (x+3)^2 la mueve a la izquierda;
• x^2+2 la desplaza hacia arriba;
• x^2-2 la desplaza hacia abajo.

El signo dentro del paréntesis parece invertido: x-h representa un desplazamiento hacia la derecha.

Reflexiones

y=-f(x) refleja la gráfica respecto del eje x. y=f(-x) la refleja respecto del eje y.

Estiramientos y compresiones verticales

• Si |a|>1, hay un estiramiento vertical.
• Si 0<|a|<1, hay una compresión vertical.
• Si a<0, también aparece una reflexión respecto del eje horizontal.

Estiramientos y compresiones horizontales

En y=f(bx), el factor horizontal es 1/|b|. Por eso, f(2x) se comprime horizontalmente y f(x/2) se estira.

Comparación completa

Grafica y=x^2, y=(x-2)^2-1 y y=-2*(x-2)^2-1. La segunda tiene vértice (2,-1). La tercera conserva el vértice, se refleja y se hace más estrecha.

Lista de comprobación

1. Identifica la función base.
2. Lee los cambios dentro del argumento.
3. Lee los cambios fuera de la función.
4. Aplica las reflexiones.
5. Comprueba puntos notables y asíntotas.

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Para funciones racionales y exponenciales, sigue con la búsqueda de asíntotas.