Transformations de fonctions : translations, symétries et étirements

Les transformations permettent de prévoir une nouvelle courbe à partir d’une fonction de référence, sans recalculer tous ses points.

Forme générale

Une écriture utile est y=a·f(b(x-h))+k :

• h commande la translation horizontale ;
• k commande la translation verticale ;
• a produit un étirement vertical et éventuellement une symétrie ;
• b agit sur l’échelle horizontale.

Translations horizontales et verticales

À partir de f(x)=x^2 :

• (x-3)^2 déplace la parabole de 3 unités vers la droite ;
• (x+3)^2 la déplace vers la gauche ;
• x^2+2 la déplace vers le haut ;
• x^2-2 la déplace vers le bas.

Le signe à l’intérieur des parenthèses semble inversé : x-h correspond à un déplacement vers la droite.

Symétries

y=-f(x) est la symétrique de la courbe par rapport à l’axe des abscisses. y=f(-x) est la symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Étirements et compressions verticales

• Si |a|>1, la courbe est étirée verticalement.
• Si 0<|a|<1, elle est comprimée verticalement.
• Si a<0, une symétrie par rapport à l’axe des abscisses s’ajoute.

Étirements et compressions horizontales

Pour y=f(bx), le facteur horizontal vaut 1/|b|. Ainsi, f(2x) est comprimée horizontalement, tandis que f(x/2) est étirée.

Comparaison complète

Tracez ensemble y=x^2, y=(x-2)^2-1 et y=-2*(x-2)^2-1. La deuxième courbe a pour sommet (2,-1). La troisième conserve ce sommet, est renversée et plus étroite.

Liste de contrôle

1. Identifier la fonction de référence.
2. Lire les changements à l’intérieur de l’argument.
3. Lire les changements appliqués à l’extérieur.
4. Appliquer les symétries.
5. Vérifier les points remarquables et les asymptotes.

Comparer plusieurs transformations en ligne →

Pour les fonctions rationnelles et exponentielles, poursuivez avec la recherche des asymptotes.