反函数把原函数的输入与输出关系反过来。如果 \(f(a)=b\)，那么 \(f^{-1}(b)=a\)。在坐标平面上，\(f\) 与 \(f^{-1}\) 的图像关于直线 \(y=x\) 对称。
1. 用代数方法求反函数
对于 \(f(x)=2x+3\)：
- 写成 \(y=2x+3\)。
- 交换 x 与 y：\(x=2y+3\)。
- 解出 y：\(y=(x-3)/2\)。
因此
\[f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.\]
2. 绘制原函数、反函数和对称轴
在绘图计算器中添加三个对象：
2*x+3(x-3)/2x
可将 \(y=x\) 设置为虚线。原函数上的点 \((1,5)\)，在反函数上对应点 \((5,1)\)。
3. 用复合函数检验
正确的反函数在相应定义域内应满足
\[f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x\qquad\text{和}\qquad f^{-1}(f(x))=x\]
对于上面的线性函数：
\[2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3=x.\]
4. 并非每个函数在完整定义域上都有反函数
函数 \(f(x)=x^2\) 在全体实数上不是一一对应的，因为 \(f(2)=f(-2)=4\)。把它对称后得到关系 \(x=y^2\)，该关系有两个分支，不能通过竖线检验。
把原函数的定义域限制为 \(x\ge0\)，则
\[f^{-1}(x)=\sqrt{x},\qquad x\ge0.\]
此时只绘制 \(y=x^2\) 的右半部分，并同时绘制 \(y=\sqrt{x}\) 和 \(y=x\)。
5. 定义域与值域交换角色
若 \(f:A\to B\) 是一一函数，并映射到它的值域，则
- \(f^{-1}\) 的定义域是 \(f\) 的值域；
- \(f^{-1}\) 的值域是 \(f\) 的定义域。
将图像作对称变换后，可以直观看到这种交换。
6. 指数函数与对数函数互为反函数
函数 \(y=a^x\) 与 \(y=\log_a x\) 在 \(a>0\) 且 \(a\ne1\) 时互为反函数。它们的图像关于 \(y=x\) 对称；指数函数的水平渐近线 \(y=0\) 对应于对数函数的竖直渐近线 \(x=0\)。
常见错误
- 把 \(f^{-1}(x)\) 误认为 \(1/f(x)\)。
- 交换 x 和 y 后，没有把方程完整解出 y。
- 忽略必要的定义域限制。
- 绘制反函数时没有添加参考直线 \(y=x\)。
- 忘记端点和渐近线也会按同样方式对称。