Une fonction réciproque inverse la relation entre les entrées et les sorties de la fonction initiale. Si \(f(a)=b\), alors \(f^{-1}(b)=a\). Dans un repère, les graphiques de \(f\) et de \(f^{-1}\) sont symétriques par rapport à la droite \(y=x\).
1. Déterminer algébriquement une fonction réciproque
Pour \(f(x)=2x+3\) :
- Écrivez \(y=2x+3\).
- Échangez x et y : \(x=2y+3\).
- Isolez y : \(y=(x-3)/2\).
Ainsi
\[f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.\]
2. Tracer la fonction, sa réciproque et l’axe de symétrie
Dans la calculatrice graphique, ajoutez trois objets :
2*x+3(x-3)/2x
Utilisez un trait en pointillés pour \(y=x\). Un point tel que \((1,5)\) sur la fonction initiale correspond au point \((5,1)\) sur sa réciproque.
3. Vérifier par composition
Une fonction réciproque correcte vérifie
\[f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x\qquad\text{et}\qquad f^{-1}(f(x))=x\]
sur les domaines appropriés. Pour l’exemple affine :
\[2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3=x.\]
4. Toute fonction n’admet pas de réciproque sur son domaine entier
La fonction \(f(x)=x^2\) n’est pas injective sur l’ensemble des réels, car \(f(2)=f(-2)=4\). Sa relation symétrique est \(x=y^2\), qui possède deux branches et ne satisfait pas le test de la droite verticale.
Restreignez le domaine initial à \(x\ge0\). Alors
\[f^{-1}(x)=\sqrt{x},\qquad x\ge0.\]
Tracez uniquement la moitié droite de \(y=x^2\), ainsi que \(y=\sqrt{x}\) et \(y=x\).
5. Le domaine et l’ensemble image échangent leurs rôles
Si \(f:A\to B\) est injective et surjective sur son image, alors
- le domaine de \(f^{-1}\) est l’ensemble image de \(f\) ;
- l’ensemble image de \(f^{-1}\) est le domaine de \(f\).
Cet échange apparaît clairement après la symétrie du graphique.
6. Réciproques des fonctions exponentielle et logarithme
Les fonctions \(y=a^x\) et \(y=\log_a x\) sont réciproques pour \(a>0\), \(a\ne1\). Leurs graphiques sont symétriques par rapport à \(y=x\) ; l’asymptote horizontale \(y=0\) de l’exponentielle devient l’asymptote verticale \(x=0\) du logarithme.
Erreurs fréquentes
- Confondre \(f^{-1}(x)\) avec \(1/f(x)\).
- Échanger x et y sans isoler complètement y.
- Ignorer une restriction de domaine nécessaire.
- Tracer la fonction réciproque sans la droite de référence \(y=x\).
- Oublier que les extrémités et les asymptotes sont elles aussi réfléchies.
Révisez les transformations de fonctions et le domaine et l’ensemble image pour consolider ces compétences de lecture graphique.