प्रतिलोम फलन मूल फलन के निवेश–निर्गत संबंध को उलट देता है। यदि \(f(a)=b\), तो \(f^{-1}(b)=a\)। निर्देशांक तल में \(f\) और \(f^{-1}\) के आलेख रेखा \(y=x\) के सापेक्ष एक-दूसरे के परावर्तन होते हैं।
1. बीजगणितीय रूप से प्रतिलोम ज्ञात करें
\(f(x)=2x+3\) के लिए:
- \(y=2x+3\) लिखें।
- x और y को बदलें: \(x=2y+3\)।
- y के लिए हल करें: \(y=(x-3)/2\)।
अतः
\[f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.\]
2. फलन, प्रतिलोम और दर्पण रेखा का आलेख बनाएँ
ग्राफ़िंग कैलकुलेटर में तीन वस्तुएँ जोड़ें:
2*x+3(x-3)/2x
\(y=x\) के लिए डैश शैली रखें। मूल आलेख का बिंदु \((1,5)\) प्रतिलोम आलेख के बिंदु \((5,1)\) से संगत है।
3. संयोजन से जाँचें
सही प्रतिलोम उपयुक्त परिभाषा-क्षेत्रों पर संतुष्ट करता है
\[f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x\qquad\text{और}\qquad f^{-1}(f(x))=x\]
रैखिक उदाहरण के लिए:
\[2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3=x.\]
4. प्रत्येक फलन का पूरे परिभाषा-क्षेत्र पर प्रतिलोम फलन नहीं होता
\(f(x)=x^2\) सभी वास्तविक संख्याओं पर एकैकी नहीं है, क्योंकि \(f(2)=f(-2)=4\)। इसका परावर्तित संबंध \(x=y^2\) है, जिसकी दो शाखाएँ हैं और जो ऊर्ध्व रेखा परीक्षण में विफल होता है।
मूल परिभाषा-क्षेत्र को \(x\ge0\) तक सीमित करें। तब
\[f^{-1}(x)=\sqrt{x},\qquad x\ge0.\]
\(y=x^2\) का केवल दायाँ आधा भाग, \(y=\sqrt{x}\) और \(y=x\) एक साथ बनाएँ।
5. परिभाषा-क्षेत्र और परास भूमिकाएँ बदलते हैं
यदि \(f:A\to B\) एकैकी है और अपने परास पर आच्छादक है, तो
- \(f^{-1}\) का परिभाषा-क्षेत्र \(f\) का परास है;
- \(f^{-1}\) का परास \(f\) का परिभाषा-क्षेत्र है।
आलेख के परावर्तन में यह अदला-बदली स्पष्ट दिखती है।
6. घातांकीय और लघुगणकीय फलनों के प्रतिलोम
\(y=a^x\) और \(y=\log_a x\) प्रतिलोम हैं, जहाँ \(a>0\) और \(a\ne1\)। उनके आलेख \(y=x\) के सापेक्ष परावर्तित होते हैं; घातांकीय फलन का क्षैतिज अनंतस्पर्शी \(y=0\) लघुगणकीय फलन का ऊर्ध्व अनंतस्पर्शी \(x=0\) बन जाता है।
सामान्य त्रुटियाँ
- \(f^{-1}(x)\) को \(1/f(x)\) समझ लेना।
- x और y बदलने के बाद y के लिए पूरा हल न करना।
- आवश्यक परिभाषा-क्षेत्र प्रतिबंध की उपेक्षा करना।
- संदर्भ रेखा \(y=x\) के बिना प्रतिलोम का आलेख बनाना।
- यह भूलना कि अंतिम बिंदु और अनंतस्पर्शी भी परावर्तित होते हैं।
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