參數方程式使用第三個變數（通常為 \(t\)）來同時表示兩個座標：
\[x=x(t),\qquad y=y(t).\]
它特別適合表示圓、橢圓、擺線、帶環曲線，以及難以或無法寫成單一函數 \(y=f(x)\) 的曲線。
1. 從單位圓開始
標準參數表示
\[x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad 0\le t\le2\pi\]
從 \((1,0)\) 出發，沿逆時針方向將單位圓描繪一周。在參數繪圖模式中，為 \(x(t)\) 輸入 cos(t)，為 \(y(t)\) 輸入 sin(t)，再把參數區間設為從 \(0\) 到 \(2\pi\)。
2. 理解參數區間的作用
只有公式並不能決定曲線顯示多少範圍。對於圓：
- \(0\le t\le\pi\) 只畫出上半圓。
- \(-\pi/2\le t\le\pi/2\) 畫出右半圓。
- \(0\le t\le4\pi\) 會把同一個圓描繪兩周。
應選擇能夠完整表示目標曲線且不會造成不必要重復的最小參數區間。
3. 繪製橢圓
以 \((h,k)\) 為中心、水平半軸長為 \(a\)、垂直半軸長為 \(b\) 的橢圓，可以表示為
\[x(t)=h+a\cos t,\qquad y(t)=k+b\sin t.\]
例如，中心為 \((1,-2)\)、兩個半軸長分別為 3 和 2 的橢圓，可輸入：
1+3*cos(t)-2+2*sin(t)
檢查形狀時，應讓兩個座標軸使用相同比例。螢幕上的橫縱比例不相等，會使真正的圓看起來像橢圓。
4. 判斷描繪方向和速度
參數提供的資訊不僅是幾何軌跡。速度向量為
\[\mathbf v(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr).\]
對於單位圓，\(\mathbf v(t)=(-\sin t,\cos t)\)。當 \(t=0\) 時，點位於 \((1,0)\)，速度方向向上，因此可確認曲線沿逆時針方向描繪。把 \(\sin t\) 換成 \(-\sin t\)，描繪方向就會反轉。
5. 範例：李薩如曲線
嘗試
\[x(t)=\sin(3t),\qquad y(t)=\sin(2t),\qquad 0\le t\le2\pi.\]
輸入 sin(3*t) 和 sin(2*t)。頻率之比決定曲線瓣的數量；系數稍有變化，就可能產生形狀差異很大的閉合圖案。
6. 避免遺漏曲線細節
快速振盪或急轉彎的曲線需要足夠多的採樣點。如果曲線看起來像折線、出現缺口，或錯誤地跨過環形部分，應減小參數步長，或在可用時提高算繪品質。還要確認參數區間使用的是弧度，除非工具已明確切換到角度制。
常見錯誤
- 把兩個公式都輸入普通的 \(y=f(x)\) 輸入框。
- 繪圖工具按弧度計算時，卻在公式中按角度理解參數。
- 選擇的參數區間只能畫出曲線的一部分。
- 座標軸比例不相等，導致誤判幾何形狀。
- 忽略曲線被描繪的方向。
開啟繪圖計算機，比較圓、橢圓和李薩如曲線範例。若要學習另一種座標系統，請繼續閱讀極座標方程式與玫瑰曲線。