Parameterdarstellungen beschreiben beide Koordinaten mithilfe einer dritten Variablen, meist \(t\):
\[x=x(t),\qquad y=y(t).\]
Sie eignen sich besonders für Kreise, Ellipsen, Zykloiden, Schleifen und Kurven, die sich nur schwer oder gar nicht als einzelne Funktion \(y=f(x)\) ausdrücken lassen.
1. Mit dem Einheitskreis beginnen
Die klassische Parametrisierung
\[x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad 0\le t\le2\pi\]
durchläuft den Einheitskreis einmal gegen den Uhrzeigersinn und beginnt bei \((1,0)\). Geben Sie im Parametermodus cos(t) für \(x(t)\) und sin(t) für \(y(t)\) ein und setzen Sie das Parameterintervall von \(0\) bis \(2\pi\).
2. Die Bedeutung des Parameterintervalls verstehen
Die Formeln allein bestimmen nicht, welcher Teil der Kurve angezeigt wird. Für den Kreis gilt:
- \(0\le t\le\pi\) zeichnet nur den oberen Halbkreis.
- \(-\pi/2\le t\le\pi/2\) zeichnet den rechten Halbkreis.
- \(0\le t\le4\pi\) durchläuft denselben Kreis zweimal.
Wählen Sie das kleinste Intervall, das die gewünschte Kurve vollständig und ohne unnötige Wiederholung darstellt.
3. Eine Ellipse zeichnen
Eine Ellipse mit Mittelpunkt \((h,k)\), horizontaler Halbachse \(a\) und vertikaler Halbachse \(b\) kann parametrisiert werden durch
\[x(t)=h+a\cos t,\qquad y(t)=k+b\sin t.\]
Für eine Ellipse mit Mittelpunkt \((1,-2)\) und Halbachsen 3 und 2 geben Sie ein:
1+3*cos(t)-2+2*sin(t)
Verwenden Sie auf beiden Achsen denselben Maßstab, um die Form zu prüfen. Ein ungleicher Bildschirmmaßstab kann einen echten Kreis elliptisch erscheinen lassen.
4. Durchlaufrichtung und Geschwindigkeit untersuchen
Der Parameter liefert mehr Informationen als nur die geometrische Punktmenge. Der Geschwindigkeitsvektor lautet
\[\mathbf v(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr).\]
Für den Einheitskreis gilt \(\mathbf v(t)=(-\sin t,\cos t)\). Bei \(t=0\) liegt der Punkt bei \((1,0)\) und die Geschwindigkeit zeigt nach oben, was die Durchlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn bestätigt. Ersetzt man \(\sin t\) durch \(-\sin t\), kehrt sich die Richtung um.
5. Beispiel: eine Lissajous-Kurve
Probieren Sie
\[x(t)=\sin(3t),\qquad y(t)=\sin(2t),\qquad 0\le t\le2\pi.\]
Geben Sie sin(3*t) und sin(2*t) ein. Das Verhältnis der Frequenzen bestimmt die Anzahl der Schleifen. Kleine Änderungen der Koeffizienten können sehr unterschiedliche geschlossene Muster erzeugen.
6. Details nicht verlieren
Kurven mit schnellen Schwingungen oder engen Krümmungen benötigen genügend Abtastpunkte. Wirkt die Kurve polygonal, zeigt Lücken oder schneidet eine Schleife, verkleinern Sie die Parameterschrittweite oder erhöhen Sie – sofern verfügbar – die Darstellungsqualität. Prüfen Sie außerdem, ob das Intervall im Bogenmaß angegeben ist, sofern das Werkzeug nicht ausdrücklich auf Gradmaß eingestellt wurde.
Häufige Fehler
- Beide Formeln in ein gewöhnliches Feld \(y=f(x)\) eingeben.
- Gradmaß verwenden, obwohl der Graph Bogenmaß erwartet.
- Ein zu kurzes oder unnötig langes Parameterintervall wählen.
- Die Durchlaufrichtung mit der geometrischen Form verwechseln.
- Unterschiedliche Achsenmaßstäbe verwenden und dadurch die Form falsch beurteilen.
Öffnen Sie den Grafikrechner und vergleichen Sie verschiedene Parametrisierungen. Erkunden Sie danach Polargleichungen und Rosenkurven oder implizite Gleichungen und Kegelschnitte.