प्राचलिक समीकरणों का ऑनलाइन आलेख कैसे बनाएँ

प्राचलिक समीकरण दोनों निर्देशांकों को किसी तीसरे चर, सामान्यतः \(t\), के रूप में व्यक्त करते हैं:

\[x=x(t),\qquad y=y(t).\]

ये वृत्त, दीर्घवृत्त, चक्रज, लूप तथा ऐसे वक्रों के लिए विशेष रूप से उपयोगी हैं जिन्हें एकल फलन \(y=f(x)\) के रूप में लिखना कठिन या असंभव हो।

1. इकाई वृत्त से शुरू करें

मानक प्राचलीकरण

\[x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad 0\le t\le2\pi\]

\((1,0)\) से शुरू होकर इकाई वृत्त को वामावर्त दिशा में एक बार अनुरेखित करता है। प्राचलिक आलेख मोड में \(x(t)\) के लिए cos(t) और \(y(t)\) के लिए sin(t) दर्ज करें, फिर प्राचल-अंतराल \(0\) से \(2\pi\) रखें।

2. प्राचल-अंतराल की भूमिका समझें

केवल सूत्र यह निर्धारित नहीं करते कि वक्र का कितना भाग दिखेगा। वृत्त के लिए:

• \(0\le t\le\pi\) केवल ऊपरी अर्धवृत्त बनाता है।
• \(-\pi/2\le t\le\pi/2\) दायाँ अर्धवृत्त बनाता है।
• \(0\le t\le4\pi\) उसी वृत्त को दो बार अनुरेखित करता है।

अनावश्यक पुनरावृत्ति के बिना इच्छित वक्र को पूरा दर्शाने वाला सबसे छोटा अंतराल चुनें।

3. दीर्घवृत्त का आलेख बनाएँ

\((h,k)\) केंद्र, क्षैतिज अर्ध-अक्ष \(a\) और ऊर्ध्व अर्ध-अक्ष \(b\) वाले दीर्घवृत्त का प्राचलीकरण है

\[x(t)=h+a\cos t,\qquad y(t)=k+b\sin t.\]

\((1,-2)\) केंद्र तथा 3 और 2 अर्ध-अक्ष वाले दीर्घवृत्त के लिए दर्ज करें:

• 1+3*cos(t)
• -2+2*sin(t)

आकृति जाँचते समय दोनों अक्षों पर समान मापनी रखें। असमान स्क्रीन-मापनी वास्तविक वृत्त को दीर्घवृत्त जैसा दिखा सकती है।

4. दिशा और वेग का अनुरेखण करें

प्राचल केवल ज्यामितीय पथ से अधिक जानकारी देता है। वेग सदिश है

\[\mathbf v(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr).\]

इकाई वृत्त के लिए \(\mathbf v(t)=(-\sin t,\cos t)\)। \(t=0\) पर बिंदु \((1,0)\) है और वेग ऊपर की ओर है, जिससे वामावर्त गति की पुष्टि होती है। \(\sin t\) को \(-\sin t\) से बदलने पर दिशा उलट जाती है।

5. उदाहरण: लिसाजू वक्र

प्रयास करें

\[x(t)=\sin(3t),\qquad y(t)=\sin(2t),\qquad 0\le t\le2\pi.\]

sin(3*t) और sin(2*t) दर्ज करें। आवृत्तियों का अनुपात पाशों की संख्या नियंत्रित करता है। गुणांकों में छोटा परिवर्तन भी बहुत अलग बंद प्रतिरूप बना सकता है।

6. सूक्ष्म विवरण गायब होने से बचाएँ

तेज़ दोलन या तीखे मोड़ वाले वक्रों के लिए पर्याप्त नमूना-बिंदु चाहिए। यदि वक्र बहुभुज जैसा दिखे, उसमें रिक्तियाँ हों या वह किसी लूप को काटता हुआ निकले, तो प्राचल-चरण घटाएँ अथवा उपलब्ध होने पर रेंडरिंग गुणवत्ता बढ़ाएँ। यह भी सुनिश्चित करें कि प्राचल-अंतराल रेडियन में है, जब तक उपकरण को स्पष्ट रूप से डिग्री मोड पर न रखा गया हो।

सामान्य त्रुटियाँ

• दोनों सूत्रों को सामान्य \(y=f(x)\) क्षेत्र में दर्ज करना।
• आलेख के रेडियन अपेक्षित करने पर सूत्रों में डिग्री का उपयोग करना।
• ऐसा अंतराल चुनना जो वक्र का केवल एक भाग बनाए।
• असमान अक्ष-मापनी के कारण ज्यामिति को गलत पढ़ना।
• वक्र के अनुरेखण की दिशा की उपेक्षा करना।

ग्राफ़िंग कैलकुलेटर खोलकर वृत्त, दीर्घवृत्त और लिसाजू उदाहरणों की तुलना करें। दूसरी निर्देशांक प्रणाली के लिए ध्रुवीय समीकरण और गुलाब वक्र पढ़ें।