كيفية رسم المعادلات الوسيطية عبر الإنترنت

تصف المعادلات الوسيطية كلا الإحداثيين باستعمال متغير ثالث، غالبًا \(t\):

\[x=x(t),\qquad y=y(t).\]

وهي مفيدة خصوصًا للدوائر والقطوع الناقصة والمنحنيات الدويرية والحلقات والمنحنيات التي يصعب أو يستحيل التعبير عنها بدالة واحدة \(y=f(x)\).

1. ابدأ بدائرة الوحدة

التمثيل الوسيطي القياسي

\[x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad 0\le t\le2\pi\]

يتتبع دائرة الوحدة مرة واحدة عكس اتجاه عقارب الساعة، بدءًا من \((1,0)\). في نمط الرسم الوسيطي أدخل cos(t) من أجل \(x(t)\) وsin(t) من أجل \(y(t)\)، ثم اضبط مجال الوسيط من \(0\) إلى \(2\pi\).

2. افهم دور مجال الوسيط

لا تحدد الصيغ وحدها مقدار الجزء الظاهر من المنحنى. بالنسبة إلى الدائرة:

• \(0\le t\le\pi\) يرسم نصف الدائرة العلوي فقط.
• \(-\pi/2\le t\le\pi/2\) يرسم نصف الدائرة الأيمن.
• \(0\le t\le4\pi\) يتتبع الدائرة نفسها مرتين.

اختر أصغر مجال يمثل المنحنى المطلوب من غير تكرار غير ضروري.

3. ارسم قطعًا ناقصًا

يمكن تمثيل قطع ناقص مركزه \((h,k)\) ونصف محوره الأفقي \(a\) ونصف محوره الرأسي \(b\) بالصيغة

\[x(t)=h+a\cos t,\qquad y(t)=k+b\sin t.\]

لقطع ناقص مركزه \((1,-2)\) ونصفا محوريه 3 و2، أدخل:

• 1+3*cos(t)
• -2+2*sin(t)

استخدم مقياسًا متساويًا على المحورين عند فحص الشكل، لأن اختلاف مقياس العرض قد يجعل دائرة حقيقية تبدو كأنها قطع ناقص.

4. تتبع الاتجاه والسرعة

يقدم الوسيط معلومات تتجاوز المسار الهندسي. متجه السرعة هو

\[\mathbf v(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr).\]

لدائرة الوحدة \(\mathbf v(t)=(-\sin t,\cos t)\). عند \(t=0\) تكون النقطة \((1,0)\) ويتجه متجه السرعة إلى أعلى، مما يؤكد الحركة عكس اتجاه عقارب الساعة. واستبدال \(\sin t\) بـ \(-\sin t\) يعكس الاتجاه.

5. مثال: منحنى ليساجو

جرّب

\[x(t)=\sin(3t),\qquad y(t)=\sin(2t),\qquad 0\le t\le2\pi.\]

أدخل sin(3*t) وsin(2*t). تتحكم نسبة الترددين في عدد الفصوص، وقد تنتج تغييرات صغيرة في المعاملات أنماطًا مغلقة مختلفة جدًا.

6. تجنب فقدان التفاصيل

تحتاج المنحنيات سريعة التذبذب أو ذات الانعطافات الحادة إلى عدد كافٍ من نقاط أخذ العينات. إذا بدا المنحنى مضلعًا، أو ظهرت فيه فجوات، أو قطع حلقة بدل تتبعها، فقلّل خطوة الوسيط أو ارفع جودة التصيير إن كان الخيار متاحًا. وتأكد أيضًا من أن مجال الوسيط بالراديان ما لم تكن الأداة مضبوطة صراحة على الدرجات.

أخطاء شائعة

• إدخال الصيغتين في حقل الدالة المعتاد \(y=f(x)\).
• استعمال الدرجات في الصيغ بينما يتوقع الرسم الراديان.
• اختيار مجال يرسم جزءًا فقط من المنحنى.
• استخدام مقياسين غير متساويين للمحورين وسوء تفسير الشكل.
• إهمال اتجاه تتبع المنحنى.

افتح حاسبة الرسوم البيانية وقارن أمثلة الدائرة والقطع الناقص ومنحنى ليساجو. وللاطلاع على نظام إحداثيات آخر، تابع إلى المعادلات القطبية ومنحنيات الوردة.