Las ecuaciones paramétricas describen ambas coordenadas mediante una tercera variable, normalmente \(t\):
\[x=x(t),\qquad y=y(t).\]
Son especialmente útiles para círculos, elipses, cicloides, lazos y curvas difíciles o imposibles de expresar como una sola función \(y=f(x)\).
1. Empieza con la circunferencia unidad
La parametrización clásica
\[x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad 0\le t\le2\pi\]
recorre una vez la circunferencia unidad en sentido antihorario, partiendo de \((1,0)\). En el modo paramétrico, introduce cos(t) para \(x(t)\) y sin(t) para \(y(t)\), y fija el intervalo del parámetro de \(0\) a \(2\pi\).
2. Comprende la función del intervalo del parámetro
Las fórmulas por sí solas no determinan qué parte de la curva se muestra. Para la circunferencia:
- \(0\le t\le\pi\) dibuja solo la semicircunferencia superior.
- \(-\pi/2\le t\le\pi/2\) dibuja la semicircunferencia derecha.
- \(0\le t\le4\pi\) recorre dos veces la misma circunferencia.
Elige el intervalo más pequeño que represente toda la curva deseada sin repeticiones innecesarias.
3. Grafica una elipse
Una elipse con centro \((h,k)\), semieje horizontal \(a\) y semieje vertical \(b\) puede parametrizarse mediante
\[x(t)=h+a\cos t,\qquad y(t)=k+b\sin t.\]
Para una elipse con centro \((1,-2)\) y semiejes 3 y 2, introduce:
1+3*cos(t)-2+2*sin(t)
Usa la misma escala en ambos ejes para comprobar la forma. Una escala desigual en pantalla puede hacer que una circunferencia real parezca una elipse.
4. Estudia el sentido de recorrido y la velocidad
El parámetro aporta más información que el mero lugar geométrico. El vector velocidad es
\[\mathbf v(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr).\]
Para la circunferencia unidad, \(\mathbf v(t)=(-\sin t,\cos t)\). En \(t=0\), el punto es \((1,0)\) y la velocidad apunta hacia arriba, lo que confirma el sentido antihorario. Sustituir \(\sin t\) por \(-\sin t\) invierte el sentido.
5. Ejemplo: una curva de Lissajous
Prueba
\[x(t)=\sin(3t),\qquad y(t)=\sin(2t),\qquad 0\le t\le2\pi.\]
Introduce sin(3*t) y sin(2*t). La relación entre las frecuencias determina el número de lóbulos. Pequeños cambios en los coeficientes pueden producir patrones cerrados muy diferentes.
6. Evita perder detalles
Las curvas con oscilaciones rápidas o giros cerrados necesitan suficientes puntos de muestreo. Si la curva parece poligonal, presenta huecos o atraviesa un lazo, reduce el paso del parámetro o aumenta la calidad de representación, si existe esa opción. Comprueba también que el intervalo esté expresado en radianes, salvo que la herramienta esté configurada explícitamente en grados.
Errores frecuentes
- Introducir ambas fórmulas en un campo estándar \(y=f(x)\).
- Usar grados cuando la gráfica espera radianes.
- Elegir un intervalo del parámetro demasiado corto o excesivamente largo.
- Confundir el sentido de recorrido con la forma geométrica.
- Utilizar escalas distintas en los ejes y juzgar mal la forma.
Abre la calculadora gráfica y compara varias parametrizaciones. Después, explora las ecuaciones polares y las rosas polares o las ecuaciones implícitas y las cónicas.