Parametrik denklemler iki koordinatı da genellikle \(t\) ile gösterilen üçüncü bir değişken aracılığıyla tanımlar:
\[x=x(t),\qquad y=y(t).\]
Çemberler, elipsler, sikloidler, ilmekler ve tek bir \(y=f(x)\) fonksiyonu olarak yazılması zor ya da olanaksız eğriler için özellikle kullanışlıdır.
1. Birim çemberle başlayın
Standart parametreleme
\[x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad 0\le t\le2\pi\]
birim çemberi \((1,0)\) noktasından başlayarak saat yönünün tersine bir kez çizer. Parametrik grafik modunda \(x(t)\) için cos(t), \(y(t)\) için sin(t) yazın ve parametre aralığını \(0\) ile \(2\pi\) arasında ayarlayın.
2. Parametre aralığının rolünü anlayın
Formüller tek başına eğrinin ne kadarının görüneceğini belirlemez. Çember için:
- \(0\le t\le\pi\) yalnızca üst yarım çemberi çizer.
- \(-\pi/2\le t\le\pi/2\) sağ yarım çemberi çizer.
- \(0\le t\le4\pi\) aynı çemberi iki kez dolaşır.
İstenen eğriyi gereksiz tekrar olmadan gösteren en küçük aralığı seçin.
3. Bir elips çizin
Merkezi \((h,k)\), yatay yarı ekseni \(a\) ve düşey yarı ekseni \(b\) olan elips şu şekilde parametrelenebilir:
\[x(t)=h+a\cos t,\qquad y(t)=k+b\sin t.\]
Merkezi \((1,-2)\), yarı eksenleri 3 ve 2 olan elips için şunları girin:
1+3*cos(t)-2+2*sin(t)
Şekli denetlerken iki eksende eşit ölçek kullanın. Eşit olmayan ekran ölçekleri gerçek bir çemberi elips gibi gösterebilir.
4. Çizim yönünü ve hızı izleyin
Parametre geometrik yoldan daha fazla bilgi verir. Hız vektörü
\[\mathbf v(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr).\]
olur. Birim çember için \(\mathbf v(t)=(-\sin t,\cos t)\). \(t=0\) anında nokta \((1,0)\) ve hız yukarı yönlüdür; bu da saat yönünün tersine hareketi doğrular. \(\sin t\) yerine \(-\sin t\) yazmak yönü tersine çevirir.
5. Örnek: Lissajous eğrisi
Şunu deneyin:
\[x(t)=\sin(3t),\qquad y(t)=\sin(2t),\qquad 0\le t\le2\pi.\]
sin(3*t) ve sin(2*t) girin. Frekans oranı lob sayısını belirler. Katsayılardaki küçük değişiklikler çok farklı kapalı desenler oluşturabilir.
6. Ayrıntı kaybını önleyin
Hızlı salınım veya keskin dönüş içeren eğriler yeterli örnekleme noktası gerektirir. Eğri çokgensel görünüyorsa, boşluklar varsa veya bir ilmeği kestirme çizgiyle geçiyorsa parametre adımını küçültün ya da varsa işleme kalitesini artırın. Araç açıkça derece modunda değilse parametre aralığının radyan cinsinden olduğundan emin olun.
Yaygın hatalar
- İki formülü de standart \(y=f(x)\) alanına girmek.
- Grafik radyan beklerken derece kullanmak.
- Eğrinin yalnızca bir bölümünü çizen aralık seçmek.
- Eşit olmayan eksen ölçekleri nedeniyle geometrinin yanlış yorumlanması.
- Eğrinin izlenme yönünü göz ardı etmek.
Grafik Hesap Makinesini açıp çember, elips ve Lissajous örneklerini karşılaştırın. Başka bir koordinat sistemi için kutupsal denklemler ve gül eğrileri konusuna geçin.