Kutupsal koordinatlar bir noktayı yarıçap \(r\) ve açı \(\theta\) ile, Kartezyen \((x,y)\) koordinatları yerine belirtir. Dönüşüm formülleri
\[x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.\]
şeklindedir. Kutupsal grafik genellikle \(r=f(\theta)\) olarak yazılır. OnlineGraphing’de açısal parametre \(t\) olarak girilebilir; bu nedenle \(r=3\cos(4\theta)\) kutupsal modda 3*cos(4*t) biçiminde yazılabilir.
1. Basit bir çember çizin
\(r=2\) denklemi, merkezi orijinde ve yarıçapı 2 olan bir çember verir. Açı \(0\) ile \(2\pi\) arasında değişirken yarıçap sabit kalır.
\(r=2\cos\theta\) denklemi başka bir çember verir:
\[r^2=2r\cos\theta\Longrightarrow x^2+y^2=2x\Longrightarrow (x-1)^2+y^2=1.\]
Bu çemberin merkezi \((1,0)\), yarıçapı 1’dir.
2. Gül eğrisinin yaprak sayısını öngörün
Gül eğrileri
\[r=a\cos(n\theta)\quad\text{veya}\quad r=a\sin(n\theta).\]
biçimindedir.
- \(n\) tekse eğri \(n\) yapraklıdır.
- \(n\) çiftse eğri \(2n\) yapraklıdır.
- \(|a|\), en büyük yaprak uzunluğudur.
Bu nedenle \(r=3\cos(4\theta)\), her biri 3 yarıçapına ulaşan sekiz yaprağa sahiptir. 3*cos(4*t) yazıp \(0\le t\le2\pi\) gibi bir açı aralığı kullanın.
3. Negatif yarıçapı anlayın
\(r<0\) olduğunda nokta, açının gösterdiği yönün tersinde çizilir. Özellikle \((r,\theta)\) ile \((-r,\theta+\pi)\) aynı noktayı gösterir. Negatif yarıçap hata değildir; birçok kutupsal eğrinin ilmekler ve dönüşümlü yapraklar oluşturmasını sağlar.
4. Çizmeden önce simetriyi kullanın
Yaygın simetri testleri:
- Kutupsal eksene göre simetriyi denetlemek için \(\theta\) yerine \(-\theta\) yazın.
- Düşey eksene göre simetriyi denetlemek için \(\theta\) yerine \(\pi-\theta\) yazın.
- Orijine göre simetriyi denetlemek için \(\theta\) yerine \(\theta+\pi\) yazın.
Bu testler bitmiş eğriyi öngörmenize ve daha küçük bir açı aralığının eğriyi tamamen çizip çizemeyeceğini anlamanıza yardımcı olur.
5. Örnek: iç ilmekli limaçon
1+2*cos(t) olarak girilen \(r=1+2\cos\theta\) denklemini deneyin. Kosinüs katsayısı sabit terimden büyük olduğu için çevrimin bir bölümünde yarıçap negatif olur ve iç ilmek oluşur.
6. Uygun görüntüleme penceresini seçin
En büyük yarıçapı \(R\) olan bir eğri için \([-R,R]\times[-R,R]\) aralığından biraz daha büyük bir Kartezyen pencere genellikle uygundur. Eksen ölçeklerini eşit tutun; aksi halde aynı olması gereken yapraklar uzamış görünebilir.
Yaygın hatalar
- Kutupsal mod yerine standart fonksiyon modunu kullanmak.
- Derece ve radyanı karıştırmak.
- Çift \(n\) değerinin yalnızca \(n\) yaprak oluşturacağını sanmak.
- Negatif yarıçapı geçersiz kabul etmek.
- Eğriyi tamamlamayacak kadar kısa bir açı aralığı kullanmak.
Grafik Hesap Makinesinde deneyler yapın. Kutupsal ve Kartezyen gösterimleri karşılaştırmak için çemberler, elipsler ve örtük denklemler yazısını okuyun.