Współrzędne biegunowe określają punkt za pomocą promienia \(r\) i kąta \(\theta\), zamiast współrzędnych kartezjańskich \((x,y)\). Wzory przeliczeniowe mają postać
\[x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.\]
Wykres biegunowy zapisuje się zwykle jako \(r=f(\theta)\). W OnlineGraphing parametr kątowy można wpisać jako \(t\), dlatego wzór \(r=3\cos(4\theta)\) można w trybie biegunowym wprowadzić jako 3*cos(4*t).
1. Narysuj prosty okrąg
Równanie \(r=2\) opisuje okrąg o promieniu 2 i środku w początku układu. Gdy kąt zmienia się od \(0\) do \(2\pi\), promień pozostaje stały.
Równanie \(r=2\cos\theta\) opisuje inny okrąg:
\[r^2=2r\cos\theta\Longrightarrow x^2+y^2=2x\Longrightarrow (x-1)^2+y^2=1.\]
Jego środek to \((1,0)\), a promień wynosi 1.
2. Przewiduj liczbę płatków krzywej różanej
Krzywe różane mają postać
\[r=a\cos(n\theta)\quad\text{lub}\quad r=a\sin(n\theta).\]
- Jeśli \(n\) jest nieparzyste, krzywa ma \(n\) płatków.
- Jeśli \(n\) jest parzyste, krzywa ma \(2n\) płatków.
- Wartość bezwzględna \(|a|\) jest maksymalną długością płatka.
Zatem \(r=3\cos(4\theta)\) ma osiem płatków sięgających promienia 3. Wpisz 3*cos(4*t) i użyj na przykład przedziału \(0\le t\le2\pi\).
3. Zrozum ujemny promień
Gdy \(r<0\), punkt jest odkładany w kierunku przeciwnym do kąta. Dokładniej, \((r,\theta)\) oznacza ten sam punkt co \((-r,\theta+\pi)\). Ujemny promień nie jest błędem; dzięki niemu wiele krzywych biegunowych tworzy pętle i naprzemienne płatki.
4. Wykorzystaj symetrię przed rysowaniem
Typowe testy symetrii:
- Zastąp \(\theta\) przez \(-\theta\), aby sprawdzić symetrię względem osi biegunowej.
- Zastąp \(\theta\) przez \(\pi-\theta\), aby sprawdzić symetrię względem osi pionowej.
- Zastąp \(\theta\) przez \(\theta+\pi\), aby sprawdzić symetrię względem początku układu.
Testy te pomagają przewidzieć końcowy kształt oraz ustalić, czy mniejszy przedział kąta wystarczy do pełnego przebiegu krzywej.
5. Przykład: limakon z pętlą wewnętrzną
Wypróbuj \(r=1+2\cos\theta\), wpisując 1+2*cos(t). Ponieważ współczynnik przy cosinusie jest większy niż wyraz stały, promień staje się ujemny przez część cyklu, tworząc pętlę wewnętrzną.
6. Wybierz odpowiednie okno wykresu
Dla krzywej o maksymalnym promieniu \(R\) zwykle odpowiednie jest okno kartezjańskie nieco większe niż \([-R,R]\times[-R,R]\). Zachowaj jednakową skalę osi, inaczej jednakowe płatki mogą wyglądać na rozciągnięte.
Najczęstsze błędy
- Użycie standardowego trybu funkcji zamiast trybu biegunowego.
- Mieszanie stopni i radianów.
- Oczekiwanie tylko \(n\) płatków dla parzystego \(n\).
- Traktowanie ujemnego promienia jako niedozwolonego.
- Użycie zbyt krótkiego przedziału kąta.
Eksperymentuj w kalkulatorze graficznym. Aby porównać opis biegunowy z kartezjańskim, przeczytaj o okręgach, elipsach i równaniach uwikłanych.