Wielu ważnych krzywych nie można globalnie przedstawić jako jednej funkcji \(y=f(x)\). Na przykład dla większości wartości x okrąg ma dwie wartości y. Tryb równania uwikłanego pozwala narysować relację postaci
\[F(x,y)=0\]
bez rozwiązywania całej relacji względem jednej zmiennej.
1. Narysuj okrąg
Okrąg o środku \((h,k)\) i promieniu \(r\) ma równanie
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2.\]
Dla okręgu o środku \((2,-1)\) i promieniu 3 użyj trybu uwikłanego i wpisz
(x-2)^2+(y+1)^2=9
Okno takie jak \(-2\le x\le6\) oraz \(-5\le y\le3\) pozostawi odpowiedni margines wokół krzywej.
2. Narysuj elipsę
Elipsa o osiach równoległych do osi współrzędnych ma postać standardową
\[\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.\]
Wpisz
(x-1)^2/4+(y+2)^2/9=1
aby narysować elipsę o środku \((1,-2)\), poziomej półosi 2 i pionowej półosi 3. Jej wierzchołki to \((1,-5)\) i \((1,1)\), a końce osi małej to \((-1,-2)\) i \((3,-2)\).
3. Dlaczego rozwiązywanie względem y bywa niewygodne
Równanie okręgu \(x^2+y^2=9\) można rozdzielić na
\[y=\sqrt{9-x^2}\qquad\text{i}\qquad y=-\sqrt{9-x^2}.\]
To działa, ale wymaga dwóch obiektów funkcji i ograniczenia dziedziny \(-3\le x\le3\). Równanie uwikłane jest krótsze i automatycznie zachowuje symetrię.
4. Rysuj bardziej ogólne krzywe uwikłane
Tryb uwikłany może również przedstawiać krzywe takie jak
- \(x^3+y^3=3xy\), liść Kartezjusza;
- \(x^2y+y^3=x\);
- \((x^2+y^2-1)^3-x^2y^3=0\), algebraiczna krzywa w kształcie serca.
Złożone krzywe uwikłane mogą wymagać mniejszego kroku siatki albo wyższej jakości, aby dokładnie pokazać wąskie gałęzie.
5. Obróć krzywą stożkową
Ogólna relacja kwadratowa może zawierać składnik \(xy\):
\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.\]
Gdy \(B\ne0\), osie główne są zwykle obrócone względem osi współrzędnych. Rysowanie uwikłane pozwala uniknąć długich przekształceń potrzebnych do rozwiązania względem y, chociaż klasyfikacja analityczna nadal zależy od współczynników i wyróżnika \(B^2-4AC\).
6. Zacieniuj wnętrze krzywej stożkowej
Zastąp równość nierównością, aby opisać obszar. Na przykład
\[x^2+y^2\le9\]
opisuje domknięte koło o promieniu 3. Użyj narzędzia cieniowania wykresów, gdy potrzebujesz koloru, przezroczystości albo obszaru ograniczonego kilkoma krzywymi.
Najczęstsze błędy
- Próba wpisania okręgu w standardowym trybie \(y=f(x)\).
- Brak nawiasów przy przesuniętych współrzędnych.
- Różne skale osi, przez co okrąg jest odczytywany jako elipsa.
- Okno wykresu obcinające wierzchołki lub izolowane składowe.
- Założenie, że każda krzywa uwikłana spełnia test prostej pionowej.
Otwórz kalkulator graficzny i porównaj postać uwikłaną, parametryczną i jawną. O stożkowych opisanych parametrycznie przeczytaj w artykule o równaniach parametrycznych.