중요한 곡선 중에는 전체를 하나의 함수 \(y=f(x)\)로 나타낼 수 없는 경우가 많습니다. 예를 들어 원은 대부분의 x값에 대해 두 개의 y값을 가집니다. 음함수 방정식 모드를 사용하면 관계식을 한 변수에 대해 모두 풀지 않고도
\[F(x,y)=0\]
형태 그대로 그래프로 그릴 수 있습니다.
1. 원 그리기
중심이 \((h,k)\)이고 반지름이 \(r\)인 원의 방정식은
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2.\]
입니다. 중심이 \((2,-1)\)이고 반지름이 3인 원은 음함수 모드에서
(x-2)^2+(y+1)^2=9
를 입력합니다. \(-2\le x\le6\), \(-5\le y\le3\) 정도의 범위를 사용하면 곡선 주위에 충분한 여백이 생깁니다.
2. 타원 그리기
좌표축과 나란한 타원의 표준형은
\[\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.\]
입니다.
(x-1)^2/4+(y+2)^2/9=1
을 입력하면 중심이 \((1,-2)\), 가로 반지름이 2, 세로 반지름이 3인 타원을 그립니다. 꼭짓점은 \((1,-5)\)와 \((1,1)\), 보조 꼭짓점은 \((-1,-2)\)와 \((3,-2)\)입니다.
3. y에 대해 푸는 것이 불편한 이유
원 방정식 \(x^2+y^2=9\)는 다음 두 식으로 나눌 수 있습니다.
\[y=\sqrt{9-x^2}\qquad\text{그리고}\qquad y=-\sqrt{9-x^2}.\]
이 방법도 가능하지만 두 개의 함수 객체와 \(-3\le x\le3\)이라는 정의역 제한이 필요합니다. 음함수 방정식은 더 짧고 대칭성도 자동으로 보존합니다.
4. 더 일반적인 음함수 곡선 그리기
음함수 모드에서는 다음과 같은 곡선도 표시할 수 있습니다.
- \(x^3+y^3=3xy\): 데카르트의 엽선.
- \(x^2y+y^3=x\).
- \((x^2+y^2-1)^3-x^2y^3=0\): 하트 모양의 대수곡선.
복잡한 음함수 곡선은 가는 가지를 정확히 표시하기 위해 격자 간격을 줄이거나 품질 설정을 높여야 할 수 있습니다.
5. 회전된 원뿔곡선
일반적인 이차 관계식에는 \(xy\)항이 포함될 수 있습니다.
\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.\]
\(B\ne0\)이면 주축은 보통 좌표축에 대해 회전되어 있습니다. 음함수 그래프를 사용하면 y에 대해 푸는 긴 대수 계산을 피할 수 있지만, 해석적인 분류에는 계수와 판별식 \(B^2-4AC\)가 필요합니다.
6. 원뿔곡선 내부 음영 처리하기
등식을 부등식으로 바꾸면 영역을 나타낼 수 있습니다. 예를 들어
\[x^2+y^2\le9\]
는 반지름 3인 닫힌 원판입니다. 색상, 투명도 또는 여러 곡선으로 둘러싸인 영역을 설정하려면 그래프 음영 도구를 사용하십시오.
자주 하는 실수
- 원을 일반적인 \(y=f(x)\) 모드에 입력하려는 것.
- 평행이동된 좌표의 괄호를 빠뜨리는 것.
- 축의 눈금이 달라 원을 타원으로 잘못 판단하는 것.
- 꼭짓점이나 분리된 성분을 잘라내는 보기 창을 선택하는 것.
- 모든 음함수 곡선이 수직선 판정을 만족한다고 생각하는 것.
그래프 계산기를 열고 음함수, 매개변수, 명시적 표현을 비교해 보십시오. 매개변수로 나타낸 원뿔곡선은 매개방정식을 참고하십시오.