Veel belangrijke krommen kunnen niet overal als één functie \(y=f(x)\) worden voorgesteld. Een cirkel heeft bijvoorbeeld voor de meeste x-waarden twee y-waarden. Met de modus voor impliciete vergelijkingen kun je een betrekking tekenen van de vorm
\[F(x,y)=0\]
zonder de volledige betrekking naar één variabele op te lossen.
1. Teken een cirkel
Een cirkel met middelpunt \((h,k)\) en straal \(r\) heeft vergelijking
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2.\]
Gebruik voor een cirkel met middelpunt \((2,-1)\) en straal 3 de impliciete modus en voer in
(x-2)^2+(y+1)^2=9
Een venster zoals \(-2\le x\le6\) en \(-5\le y\le3\) laat voldoende ruimte rond de kromme.
2. Teken een ellips
Een ellips waarvan de assen evenwijdig zijn aan de coördinaatassen heeft standaardvorm
\[\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.\]
Voer
(x-1)^2/4+(y+2)^2/9=1
in om een ellips met middelpunt \((1,-2)\), horizontale halve as 2 en verticale halve as 3 te tekenen. De hoofdtoppen zijn \((1,-5)\) en \((1,1)\); de nevengrenspunten zijn \((-1,-2)\) en \((3,-2)\).
3. Waarom oplossen naar y vaak onhandig is
De cirkelvergelijking \(x^2+y^2=9\) kan worden gesplitst in
\[y=\sqrt{9-x^2}\qquad\text{and}\qquad y=-\sqrt{9-x^2}.\]
Dat werkt, maar vereist twee functieobjecten en de domeinbeperking \(-3\le x\le3\). De impliciete vergelijking is korter en behoudt de symmetrie automatisch.
4. Teken algemenere impliciete krommen
De impliciete modus kan ook krommen weergeven zoals
- \(x^3+y^3=3xy\), het folium van Descartes;
- \(x^2y+y^3=x\);
- \((x^2+y^2-1)^3-x^2y^3=0\), een hartvormige algebraïsche kromme.
Complexe impliciete krommen kunnen een kleinere rasterstap of hogere kwaliteitsinstelling vereisen om smalle takken nauwkeurig weer te geven.
5. Draai een kegelsnede
Een algemene kwadratische betrekking kan een \(xy\)-term bevatten:
\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.\]
Wanneer \(B\ne0\), zijn de hoofdassen meestal gedraaid ten opzichte van de coördinaatassen. Impliciet tekenen vermijdt de lange algebra die nodig is om naar y op te lossen, al hangt de analytische classificatie nog steeds af van de coëfficiënten en de discriminant \(B^2-4AC\).
6. Kleur het binnengebied van een kegelsnede
Vervang een gelijkheid door een ongelijkheid om een gebied te beschrijven. Bijvoorbeeld
\[x^2+y^2\le9\]
is de gesloten schijf met straal 3. Gebruik het hulpmiddel voor grafiekinkleuring wanneer je kleur, transparantie of een gebied begrensd door meerdere krommen nodig hebt.
Veelgemaakte fouten
- Een cirkel proberen in te voeren in de standaardmodus \(y=f(x)\).
- Haakjes vergeten bij verschoven coördinaten.
- Ongelijke asschalen gebruiken en daardoor een cirkel als ellips lezen.
- Een kijkvenster kiezen dat toppen of geïsoleerde componenten afsnijdt.
- Aannemen dat elke impliciete kromme aan de verticale-lijntest voldoet.
Open de grafische rekenmachine en vergelijk impliciete, parametrische en expliciete voorstellingen. Lees voor geparametriseerde kegelsneden parametrische vergelijkingen.