De nombreuses courbes importantes ne peuvent pas être représentées globalement par une seule fonction \(y=f(x)\). Un cercle, par exemple, possède deux valeurs de y pour la plupart des valeurs de x. Le mode équation implicite permet de tracer une relation écrite sous la forme
\[F(x,y)=0\]
sans devoir résoudre toute la relation par rapport à une variable.
1. Tracer un cercle
Un cercle de centre \((h,k)\) et de rayon \(r\) a pour équation
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2.\]
Pour un cercle de centre \((2,-1)\) et de rayon 3, utilisez le mode implicite et saisissez
(x-2)^2+(y+1)^2=9
Une fenêtre telle que \(-2\le x\le6\) et \(-5\le y\le3\) laisse une marge suffisante autour de la courbe.
2. Tracer une ellipse
Une ellipse dont les axes sont parallèles aux axes de coordonnées a pour forme canonique
\[\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.\]
Saisissez
(x-1)^2/4+(y+2)^2/9=1
pour tracer une ellipse de centre \((1,-2)\), de demi-axe horizontal 2 et de demi-axe vertical 3. Ses sommets principaux sont \((1,-5)\) et \((1,1)\) ; ses sommets secondaires sont \((-1,-2)\) et \((3,-2)\).
3. Pourquoi isoler y est souvent peu pratique
L’équation du cercle \(x^2+y^2=9\) peut être décomposée en
\[y=\sqrt{9-x^2}\qquad\text{et}\qquad y=-\sqrt{9-x^2}.\]
Cette méthode fonctionne, mais elle exige deux objets fonction et une restriction de domaine \(-3\le x\le3\). L’équation implicite est plus courte et conserve automatiquement la symétrie.
4. Tracer des courbes implicites plus générales
Le mode implicite peut également afficher des courbes telles que
- \(x^3+y^3=3xy\), le folium de Descartes ;
- \(x^2y+y^3=x\) ;
- \((x^2+y^2-1)^3-x^2y^3=0\), une courbe algébrique en forme de cœur.
Les courbes implicites complexes peuvent nécessiter un pas de grille plus petit ou une qualité supérieure pour afficher correctement les branches étroites.
5. Faire pivoter une conique
Une relation quadratique générale peut contenir un terme \(xy\) :
\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.\]
Lorsque \(B\ne0\), les axes principaux sont généralement tournés par rapport aux axes de coordonnées. Le tracé implicite évite les longs calculs nécessaires pour isoler y, même si la classification analytique dépend toujours des coefficients et du discriminant \(B^2-4AC\).
6. Colorier l’intérieur d’une conique
Remplacez l’égalité par une inégalité pour décrire une région. Par exemple,
\[x^2+y^2\le9\]
est le disque fermé de rayon 3. Utilisez l’outil de coloriage de régions lorsque vous avez besoin d’une couleur, d’une opacité ou d’une région délimitée par plusieurs courbes.
Erreurs fréquentes
- Essayer de saisir un cercle en mode ordinaire \(y=f(x)\).
- Oublier les parenthèses autour des coordonnées translatées.
- Employer des échelles d’axes différentes et prendre un cercle pour une ellipse.
- Choisir une fenêtre qui coupe des sommets ou des composantes isolées.
- Supposer que toute courbe implicite satisfait le test de la droite verticale.
Ouvrez la calculatrice graphique et comparez les représentations implicite, paramétrique et explicite. Pour les coniques paramétrées, consultez les équations paramétriques.