Les équations paramétriques décrivent les deux coordonnées à l’aide d’une troisième variable, généralement \(t\) :
\[x=x(t),\qquad y=y(t).\]
Elles sont particulièrement utiles pour les cercles, les ellipses, les cycloïdes, les boucles et les courbes difficiles ou impossibles à exprimer par une seule fonction \(y=f(x)\).
1. Commencer par le cercle unité
La paramétrisation classique
\[x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad 0\le t\le2\pi\]
parcourt une fois le cercle unité dans le sens trigonométrique, en partant de \((1,0)\). Dans le mode paramétrique, saisissez cos(t) pour \(x(t)\) et sin(t) pour \(y(t)\), puis fixez l’intervalle du paramètre de \(0\) à \(2\pi\).
2. Comprendre le rôle de l’intervalle du paramètre
Les formules seules ne déterminent pas la portion de courbe affichée. Pour le cercle :
- \(0\le t\le\pi\) ne trace que le demi-cercle supérieur.
- \(-\pi/2\le t\le\pi/2\) trace le demi-cercle droit.
- \(0\le t\le4\pi\) parcourt deux fois le même cercle.
Choisissez le plus petit intervalle qui représente toute la courbe voulue sans répétition inutile.
3. Tracer une ellipse
Une ellipse de centre \((h,k)\), de demi-axe horizontal \(a\) et de demi-axe vertical \(b\) peut être paramétrée par
\[x(t)=h+a\cos t,\qquad y(t)=k+b\sin t.\]
Pour une ellipse de centre \((1,-2)\) et de demi-axes 3 et 2, saisissez :
1+3*cos(t)-2+2*sin(t)
Utilisez la même échelle sur les deux axes pour vérifier la forme. Une échelle d’écran inégale peut faire paraître elliptique un véritable cercle.
4. Étudier le sens de parcours et la vitesse
Le paramètre fournit davantage d’informations que le seul lieu géométrique. Le vecteur vitesse est
\[\mathbf v(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr).\]
Pour le cercle unité, \(\mathbf v(t)=(-\sin t,\cos t)\). En \(t=0\), le point est \((1,0)\) et la vitesse est dirigée vers le haut, ce qui confirme le sens trigonométrique. Remplacer \(\sin t\) par \(-\sin t\) inverse le sens.
5. Exemple : une courbe de Lissajous
Essayez
\[x(t)=\sin(3t),\qquad y(t)=\sin(2t),\qquad 0\le t\le2\pi.\]
Saisissez sin(3*t) et sin(2*t). Le rapport des fréquences détermine le nombre de lobes. De petites modifications des coefficients peuvent produire des motifs fermés très différents.
6. Ne pas perdre les détails
Les courbes à oscillations rapides ou à virages serrés nécessitent assez de points d’échantillonnage. Si la courbe paraît polygonale, présente des lacunes ou traverse une boucle, réduisez le pas du paramètre ou augmentez la qualité de rendu si cette option existe. Vérifiez aussi que l’intervalle est exprimé en radians, sauf si l’outil est explicitement réglé en degrés.
Erreurs fréquentes
- Saisir les deux formules dans un champ standard \(y=f(x)\).
- Utiliser des degrés alors que le graphique attend des radians.
- Choisir un intervalle qui ne trace qu’une partie de la courbe.
- Employer des échelles d’axes inégales et mal interpréter la géométrie.
- Négliger le sens dans lequel la courbe est parcourue.
Ouvrez la calculatrice graphique et comparez le cercle, l’ellipse et la courbe de Lissajous. Pour un autre système de coordonnées, continuez avec les équations polaires et les rosaces.