Les coordonnées polaires repèrent un point à l’aide d’un rayon \(r\) et d’un angle \(\theta\), plutôt qu’avec les coordonnées cartésiennes \((x,y)\). Les formules de conversion sont
\[x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.\]
Une courbe polaire s’écrit généralement \(r=f(\theta)\). Dans OnlineGraphing, le paramètre angulaire peut être saisi sous la forme \(t\) : une formule comme \(r=3\cos(4\theta)\) devient donc 3*cos(4*t) en mode polaire.
1. Tracer un cercle simple
L’équation \(r=2\) représente un cercle de rayon 2 centré à l’origine. Lorsque l’angle varie de \(0\) à \(2\pi\), le rayon reste constant.
L’équation \(r=2\cos\theta\) représente un autre cercle :
\[r^2=2r\cos\theta\Longrightarrow x^2+y^2=2x\Longrightarrow (x-1)^2+y^2=1.\]
Son centre est \((1,0)\) et son rayon vaut 1.
2. Prévoir le nombre de pétales d’une rosace
Les rosaces ont la forme
\[r=a\cos(n\theta)\quad\text{ou}\quad r=a\sin(n\theta).\]
- Si \(n\) est impair, la courbe possède \(n\) pétales.
- Si \(n\) est pair, la courbe possède \(2n\) pétales.
- La valeur absolue \(|a|\) est la longueur maximale d’un pétale.
Ainsi, \(r=3\cos(4\theta)\) possède huit pétales, chacun atteignant le rayon 3. Saisissez 3*cos(4*t) et utilisez par exemple \(0\le t\le2\pi\).
3. Comprendre le rayon négatif
Lorsque \(r<0\), le point est placé dans la direction opposée à l’angle. Plus précisément, \((r,\theta)\) représente le même point que \((-r,\theta+\pi)\). Un rayon négatif n’est pas une erreur : il permet à de nombreuses courbes polaires de former des boucles et des pétales alternés.
4. Étudier les symétries avant de tracer
Tests de symétrie courants :
- Remplacer \(\theta\) par \(-\theta\) pour tester la symétrie par rapport à l’axe polaire.
- Remplacer \(\theta\) par \(\pi-\theta\) pour tester la symétrie par rapport à l’axe vertical.
- Remplacer \(\theta\) par \(\theta+\pi\) pour tester la symétrie par rapport à l’origine.
Ces tests aident à prévoir la courbe complète et à savoir si un intervalle angulaire plus court suffit à la parcourir entièrement.
5. Exemple : un limaçon à boucle intérieure
Essayez \(r=1+2\cos\theta\), saisi sous la forme 1+2*cos(t). Comme le coefficient du cosinus est supérieur au terme constant, le rayon devient négatif pendant une partie du cycle, ce qui crée une boucle intérieure.
6. Choisir une fenêtre adaptée
Pour une courbe de rayon maximal \(R\), une fenêtre cartésienne légèrement plus grande que \([-R,R]\times[-R,R]\) convient généralement. Gardez la même échelle sur les deux axes, sinon des pétales identiques peuvent paraître étirés.
Erreurs fréquentes
- Utiliser le mode fonction standard au lieu du mode polaire.
- Mélanger degrés et radians.
- S’attendre à ce qu’une valeur paire de \(n\) ne produise que \(n\) pétales.
- Considérer un rayon négatif comme non valide.
- Choisir un intervalle angulaire trop court pour achever la courbe.
Expérimentez dans la calculatrice graphique. Pour comparer les descriptions polaires et cartésiennes, consultez les cercles, les ellipses et les équations implicites.