Le coordinate polari individuano un punto mediante un raggio \(r\) e un angolo \(\theta\), invece delle coordinate cartesiane \((x,y)\). Le formule di conversione sono
\[x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.\]
Un grafico polare si scrive di solito come \(r=f(\theta)\). In OnlineGraphing, il parametro angolare può essere inserito come \(t\); quindi una formula come \(r=3\cos(4\theta)\) può essere digitata come 3*cos(4*t) nella modalità polare.
1. Rappresenta una circonferenza semplice
L’equazione \(r=2\) descrive una circonferenza di raggio 2 con centro nell’origine. Mentre l’angolo varia da \(0\) a \(2\pi\), il raggio resta costante.
L’equazione \(r=2\cos\theta\) descrive un’altra circonferenza:
\[r^2=2r\cos\theta\Longrightarrow x^2+y^2=2x\Longrightarrow (x-1)^2+y^2=1.\]
Ha centro \((1,0)\) e raggio 1.
2. Prevedi il numero di petali di una curva a rosa
Le curve a rosa hanno la forma
\[r=a\cos(n\theta)\quad\text{oppure}\quad r=a\sin(n\theta).\]
- Se \(n\) è dispari, la curva ha \(n\) petali.
- Se \(n\) è pari, la curva ha \(2n\) petali.
- Il valore assoluto \(|a|\) è la lunghezza massima dei petali.
Quindi \(r=3\cos(4\theta)\) ha otto petali, ognuno dei quali raggiunge raggio 3. Inserisci 3*cos(4*t) e usa un intervallo come \(0\le t\le2\pi\).
3. Comprendi il raggio negativo
Quando \(r<0\), il punto viene tracciato nella direzione opposta all’angolo. In particolare, \((r,\theta)\) rappresenta lo stesso punto di \((-r,\theta+\pi)\). Un raggio negativo non è un errore: permette a molte curve polari di formare cappi e petali alternati.
4. Usa la simmetria prima di tracciare
I test di simmetria più comuni sono:
- Sostituisci \(\theta\) con \(-\theta\) per verificare la simmetria rispetto all’asse polare.
- Sostituisci \(\theta\) con \(\pi-\theta\) per verificare la simmetria rispetto all’asse verticale.
- Sostituisci \(\theta\) con \(\theta+\pi\) per verificare la simmetria rispetto all’origine.
Questi test aiutano a prevedere la curva completa e a capire se un intervallo angolare più piccolo è sufficiente per percorrerla interamente.
5. Esempio: una lumaca di Pascal con cappio interno
Prova \(r=1+2\cos\theta\), inserito come 1+2*cos(t). Poiché il coefficiente del coseno è maggiore del termine costante, il raggio diventa negativo durante una parte del ciclo, formando un cappio interno.
6. Scegli una finestra appropriata
Per una curva con raggio massimo \(R\), è solitamente adatta una finestra cartesiana leggermente più ampia di \([-R,R]\times[-R,R]\). Mantieni la stessa scala sui due assi, altrimenti petali uguali possono apparire allungati.
Errori comuni
- Usare la modalità funzione standard invece della modalità polare.
- Mescolare gradi e radianti.
- Aspettarsi che un valore pari di \(n\) produca soltanto \(n\) petali.
- Considerare non valido un raggio negativo.
- Usare un intervallo angolare troppo breve per completare la curva.
Sperimenta nella Calcolatrice grafica. Per confrontare descrizioni polari e cartesiane, leggi circonferenze, ellissi ed equazioni implicite.