Tọa độ cực xác định một điểm bằng bán kính \(r\) và góc \(\theta\) thay cho tọa độ Descartes \((x,y)\). Các công thức chuyển đổi là
\[x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.\]
Đồ thị cực thường được viết dưới dạng \(r=f(\theta)\). Trong OnlineGraphing, tham số góc có thể được nhập là \(t\), vì vậy công thức \(r=3\cos(4\theta)\) có thể nhập thành 3*cos(4*t) trong chế độ cực.
1. Vẽ một đường tròn cơ bản
Phương trình \(r=2\) cho đường tròn bán kính 2, tâm tại gốc tọa độ. Khi góc chạy từ \(0\) đến \(2\pi\), bán kính giữ nguyên.
Phương trình \(r=2\cos\theta\) cho một đường tròn khác:
\[r^2=2r\cos\theta\Longrightarrow x^2+y^2=2x\Longrightarrow (x-1)^2+y^2=1.\]
Đường tròn này có tâm \((1,0)\) và bán kính 1.
2. Dự đoán số cánh của đường hoa hồng
Đường hoa hồng có dạng
\[r=a\cos(n\theta)\quad\text{hoặc}\quad r=a\sin(n\theta).\]
- Nếu \(n\) lẻ, đường cong có \(n\) cánh.
- Nếu \(n\) chẵn, đường cong có \(2n\) cánh.
- Giá trị tuyệt đối \(|a|\) là độ dài lớn nhất của mỗi cánh.
Do đó \(r=3\cos(4\theta)\) có tám cánh, mỗi cánh đạt bán kính 3. Nhập 3*cos(4*t) và dùng khoảng góc chẳng hạn \(0\le t\le2\pi\).
3. Hiểu bán kính âm
Khi \(r<0\), điểm được vẽ theo hướng đối diện với góc. Cụ thể, \((r,\theta)\) biểu diễn cùng một điểm với \((-r,\theta+\pi)\). Bán kính âm không phải lỗi; chính nó cho phép nhiều đường cong cực tạo vòng lặp và các cánh xen kẽ.
4. Xét đối xứng trước khi vẽ
Các phép kiểm tra đối xứng thường dùng gồm:
- Thay \(\theta\) bằng \(-\theta\) để kiểm tra đối xứng qua trục cực.
- Thay \(\theta\) bằng \(\pi-\theta\) để kiểm tra đối xứng qua trục thẳng đứng.
- Thay \(\theta\) bằng \(\theta+\pi\) để kiểm tra đối xứng qua gốc tọa độ.
Các phép thử này giúp dự đoán đường cong hoàn chỉnh và cho biết liệu một khoảng góc nhỏ hơn có thể vạch hết đường cong hay không.
5. Ví dụ: limaçon có vòng trong
Hãy thử \(r=1+2\cos\theta\), nhập thành 1+2*cos(t). Vì hệ số của cos lớn hơn số hạng không đổi, bán kính trở thành âm trong một phần chu kỳ và tạo ra vòng trong.
6. Chọn cửa sổ quan sát phù hợp
Với đường cong có bán kính lớn nhất \(R\), cửa sổ Descartes lớn hơn một chút so với \([-R,R]\times[-R,R]\) thường là phù hợp. Hãy giữ tỉ lệ hai trục bằng nhau, nếu không các cánh đáng lẽ giống nhau có thể trông bị kéo giãn.
Lỗi thường gặp
- Dùng chế độ hàm số chuẩn thay vì chế độ cực.
- Trộn lẫn độ và radian.
- Cho rằng \(n\) chẵn chỉ tạo \(n\) cánh.
- Xem bán kính âm là không hợp lệ.
- Dùng khoảng góc quá ngắn nên không hoàn thành đường cong.
Hãy thử nghiệm trong Máy tính vẽ đồ thị. Để so sánh mô tả cực và Descartes, hãy đọc đường tròn, elip và phương trình ẩn.