極座標使用半徑 \(r\) 和角度 \(\theta\) 來確定點的位置，而不是使用直角座標 \((x,y)\)。兩種座標的轉換公式為
\[x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.\]
極座標曲線通常寫成 \(r=f(\theta)\)。在 OnlineGraphing 中，角參數可以輸入為 \(t\)，因此在極座標模式下，\(r=3\cos(4\theta)\) 可輸入為 3*cos(4*t)。
1. 繪製一個基本圓
方程式 \(r=2\) 表示以原點為圓心、半徑為 2 的圓。當角度從 \(0\) 變化到 \(2\pi\) 時，半徑保持不變。
方程式 \(r=2\cos\theta\) 表示另一個圓：
\[r^2=2r\cos\theta\Longrightarrow x^2+y^2=2x\Longrightarrow (x-1)^2+y^2=1.\]
該圓的圓心為 \((1,0)\)，半徑為 1。
2. 預測玫瑰曲線的花瓣數量
玫瑰曲線的形式為
\[r=a\cos(n\theta)\quad\text{或}\quad r=a\sin(n\theta).\]
- 當 \(n\) 為奇數時，曲線有 \(n\) 個花瓣。
- 當 \(n\) 為偶數時，曲線有 \(2n\) 個花瓣。
- \(|a|\) 是花瓣能夠達到的最大長度。
因此，\(r=3\cos(4\theta)\) 有八個花瓣，每個花瓣的最大半徑為 3。輸入 3*cos(4*t)，並使用例如 \(0\le t\le2\pi\) 的角度區間。
3. 理解負半徑
當 \(r<0\) 時，點會畫在給定角度的反方向。具體來說，\((r,\theta)\) 與 \((-r,\theta+\pi)\) 表示同一個點。負半徑不是錯誤；許多極座標曲線正是依靠它形成內環和交替出現的花瓣。
4. 繪圖前先利用對稱性
常用的對稱性檢驗包括：
- 將 \(\theta\) 替換為 \(-\theta\)，檢驗曲線是否關於極軸對稱。
- 將 \(\theta\) 替換為 \(\pi-\theta\)，檢驗曲線是否關於垂直軸對稱。
- 將 \(\theta\) 替換為 \(\theta+\pi\)，檢驗曲線是否關於原點對稱。
這些檢驗可以幫助預測最終圖形，並判斷是否能用更小的角度區間完整描繪曲線。
5. 範例：帶內環的帕斯卡蝸線
嘗試 \(r=1+2\cos\theta\)，輸入為 1+2*cos(t)。由於余弦項的系數大於常數項，在一個週期的部分區間內半徑會變為負數，從而形成內環。
6. 選擇合適的檢視範圍
若曲線的最大半徑為 \(R\)，通常可選擇略大於 \([-R,R]\times[-R,R]\) 的直角座標檢視範圍。應保持兩軸比例相同，否則本應完全相同的花瓣可能看起來被拉伸。
常見錯誤
- 使用一般函數模式，而不是極座標模式。
- 混用角度制和弧度制。
- 誤以為當 \(n\) 為偶數時只有 \(n\) 個花瓣。
- 把負半徑視為無效數值。
- 使用的角度區間過短，無法完整描繪曲線。
可在繪圖計算機中進行實驗。若要比較極座標表示與直角座標表示，請閱讀圓、橢圓和隱函數方程式。