Poolcoördinaten leggen een punt vast met een straal \(r\) en een hoek \(\theta\) in plaats van met cartesische coördinaten \((x,y)\). De omzettingsformules zijn
\[x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.\]
Een poolgrafiek wordt meestal geschreven als \(r=f(\theta)\). In OnlineGraphing kan de hoekparameter als \(t\) worden ingevoerd, zodat \(r=3\cos(4\theta)\) in de poolmodus kan worden ingevoerd als 3*cos(4*t).
1. Teken een eenvoudige cirkel
De vergelijking \(r=2\) geeft een cirkel met straal 2 en middelpunt in de oorsprong. Terwijl de hoek van \(0\) tot \(2\pi\) loopt, blijft de straal constant.
De vergelijking \(r=2\cos\theta\) geeft een andere cirkel:
\[r^2=2r\cos\theta\Longrightarrow x^2+y^2=2x\Longrightarrow (x-1)^2+y^2=1.\]
Deze heeft middelpunt \((1,0)\) en straal 1.
2. Voorspel het aantal bloembladen van een rozenkromme
Rozenkrommen hebben de vorm
\[r=a\cos(n\theta)\quad\text{of}\quad r=a\sin(n\theta).\]
- Als \(n\) oneven is, heeft de kromme \(n\) bloembladen.
- Als \(n\) even is, heeft de kromme \(2n\) bloembladen.
- De absolute waarde \(|a|\) is de maximale lengte van een bloemblad.
Daarom heeft \(r=3\cos(4\theta)\) acht bloembladen die elk straal 3 bereiken. Voer 3*cos(4*t) in en gebruik bijvoorbeeld het hoekinterval \(0\le t\le2\pi\).
3. Begrijp een negatieve straal
Wanneer \(r<0\), wordt het punt in de richting tegenover de hoek getekend. Meer precies stelt \((r,\theta)\) hetzelfde punt voor als \((-r,\theta+\pi)\). Een negatieve straal is geen fout; hierdoor kunnen veel poolkrommen lussen en afwisselende bloembladen vormen.
4. Gebruik symmetrie vóór het tekenen
Veelgebruikte symmetrietests zijn:
- Vervang \(\theta\) door \(-\theta\) om symmetrie ten opzichte van de poolas te testen.
- Vervang \(\theta\) door \(\pi-\theta\) om symmetrie ten opzichte van de verticale as te testen.
- Vervang \(\theta\) door \(\theta+\pi\) om symmetrie ten opzichte van de oorsprong te testen.
Deze tests helpen de uiteindelijke kromme te voorspellen en laten zien of een kleiner hoekinterval de hele kromme kan doorlopen.
5. Voorbeeld: een limaçon met binnenlus
Probeer \(r=1+2\cos\theta\), ingevoerd als 1+2*cos(t). Omdat de coëfficiënt van de cosinus groter is dan de constante term, wordt de straal gedurende een deel van de cyclus negatief en ontstaat een binnenlus.
6. Kies een geschikt kijkvenster
Voor een kromme met maximale straal \(R\) is een cartesisch kijkvenster dat iets groter is dan \([-R,R]\times[-R,R]\) meestal geschikt. Houd beide asschalen gelijk, anders kunnen gelijke bloembladen uitgerekt lijken.
Veelgemaakte fouten
- De standaard functiemodus gebruiken in plaats van de poolmodus.
- Graden en radialen door elkaar halen.
- Verwachten dat een even waarde van \(n\) slechts \(n\) bloembladen geeft.
- Een negatieve straal als ongeldig beschouwen.
- Een hoekinterval gebruiken dat te kort is om de kromme te voltooien.
Experimenteer in de grafische rekenmachine. Lees voor een vergelijking van polaire en cartesische beschrijvingen cirkels, ellipsen en impliciete vergelijkingen.