極座標では、動径 \(r\) と偏角 \(\theta\) を使い、直交座標 \((x,y)\) の代わりに点の位置を表します。変換式は
\[x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.\]
です。極座標のグラフは通常 \(r=f(\theta)\) と書きます。OnlineGraphingでは角度の媒介変数に \(t\) を使えるため、\(r=3\cos(4\theta)\) は極座標モードで 3*cos(4*t) と入力できます。
1. 基本的な円を描く
方程式 \(r=2\) は、原点を中心とする半径2の円です。角度が \(0\) から \(2\pi\) まで変化しても、動径は一定です。
方程式 \(r=2\cos\theta\) は別の円を表します。
\[r^2=2r\cos\theta\Longrightarrow x^2+y^2=2x\Longrightarrow (x-1)^2+y^2=1.\]
中心は \((1,0)\)、半径は1です。
2. バラ曲線の花弁数を予測する
バラ曲線は次の形です。
\[r=a\cos(n\theta)\quad\text{または}\quad r=a\sin(n\theta).\]
- \(n\) が奇数なら、花弁は \(n\) 枚です。
- \(n\) が偶数なら、花弁は \(2n\) 枚です。
- \(|a|\) は花弁の最大長です。
したがって \(r=3\cos(4\theta)\) は8枚の花弁をもち、それぞれ動径3まで伸びます。3*cos(4*t) と入力し、\(0\le t\le2\pi\) などの角度区間を使います。
3. 負の動径を理解する
\(r<0\) のとき、点は指定した角度と反対の方向に描かれます。具体的には、\((r,\theta)\) と \((-r,\theta+\pi)\) は同じ点を表します。負の動径は誤りではなく、多くの極曲線がループや交互の花弁を作るために必要です。
4. 描画前に対称性を調べる
よく使う対称性の判定は次のとおりです。
- \(\theta\) を \(-\theta\) に置き換え、極軸についての対称性を調べる。
- \(\theta\) を \(\pi-\theta\) に置き換え、鉛直軸についての対称性を調べる。
- \(\theta\) を \(\theta+\pi\) に置き換え、原点についての対称性を調べる。
これらを使うと完成形を予測でき、より短い角度区間だけで曲線全体を描けるかどうかも分かります。
5. 例：内ループをもつリマソン
\(r=1+2\cos\theta\) を、1+2*cos(t) と入力して試します。余弦の係数が定数項より大きいため、周期の一部で動径が負になり、内側のループができます。
6. 適切な表示範囲を選ぶ
最大動径が \(R\) の曲線では、\([-R,R]\times[-R,R]\) より少し広い直交座標の表示範囲が適しています。軸の縮尺を等しくしないと、本来同じ形の花弁が引き伸ばされて見えます。
よくある間違い
- 極座標モードではなく通常の関数モードを使う。
- 度とラジアンを混同する。
- \(n\) が偶数のとき、花弁が \(n\) 枚だけだと思う。
- 負の動径を無効な値として扱う。
- 角度区間が短すぎて曲線が完成しない。