Polarkoordinaten bestimmen einen Punkt durch einen Radius \(r\) und einen Winkel \(\theta\) statt durch kartesische Koordinaten \((x,y)\). Die Umrechnungsformeln lauten
\[x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.\]
Ein Polargraph wird gewöhnlich als \(r=f(\theta)\) geschrieben. In OnlineGraphing kann der Winkelparameter als \(t\) eingegeben werden. Eine Formel wie \(r=3\cos(4\theta)\) lässt sich deshalb im Polarmodus als 3*cos(4*t) eingeben.
1. Einen einfachen Kreis zeichnen
Die Gleichung \(r=2\) ergibt einen Kreis mit Radius 2 um den Ursprung. Während der Winkel von \(0\) bis \(2\pi\) läuft, bleibt der Radius konstant.
Die Gleichung \(r=2\cos\theta\) ergibt einen anderen Kreis:
\[r^2=2r\cos\theta\Longrightarrow x^2+y^2=2x\Longrightarrow (x-1)^2+y^2=1.\]
Sein Mittelpunkt ist \((1,0)\), sein Radius beträgt 1.
2. Die Anzahl der Blütenblätter einer Rosenkurve vorhersagen
Rosenkurven haben die Form
\[r=a\cos(n\theta)\quad\text{oder}\quad r=a\sin(n\theta).\]
- Ist \(n\) ungerade, besitzt die Kurve \(n\) Blütenblätter.
- Ist \(n\) gerade, besitzt die Kurve \(2n\) Blütenblätter.
- Der Betrag \(|a|\) ist die maximale Länge eines Blütenblatts.
Daher besitzt \(r=3\cos(4\theta)\) acht Blütenblätter, die jeweils den Radius 3 erreichen. Geben Sie 3*cos(4*t) ein und verwenden Sie ein Winkelintervall wie \(0\le t\le2\pi\).
3. Negative Radien verstehen
Für \(r<0\) wird der Punkt in der zum Winkel entgegengesetzten Richtung eingezeichnet. Genauer stellt \((r,\theta)\) denselben Punkt dar wie \((-r,\theta+\pi)\). Ein negativer Radius ist kein Fehler; er ermöglicht es vielen Polarkurven, Schleifen und abwechselnde Blütenblätter zu bilden.
4. Symmetrie vor dem Zeichnen nutzen
Zu den üblichen Symmetrietests gehören:
- Ersetzen Sie \(\theta\) durch \(-\theta\), um Symmetrie zur Polarachse zu prüfen.
- Ersetzen Sie \(\theta\) durch \(\pi-\theta\), um Symmetrie zur vertikalen Achse zu prüfen.
- Ersetzen Sie \(\theta\) durch \(\theta+\pi\), um Punktsymmetrie zum Ursprung zu prüfen.
Diese Tests helfen, den vollständigen Kurvenverlauf vorherzusagen und zu erkennen, ob ein kleineres Winkelintervall die Kurve vollständig durchläuft.
5. Beispiel: eine Pascalsche Schnecke mit innerer Schleife
Probieren Sie \(r=1+2\cos\theta\), eingegeben als 1+2*cos(t). Da der Kosinuskoeffizient größer als der konstante Term ist, wird der Radius während eines Teils des Zyklus negativ und erzeugt eine innere Schleife.
6. Ein geeignetes Ansichtsfenster wählen
Für eine Kurve mit maximalem Radius \(R\) eignet sich meist ein kartesisches Fenster, das etwas größer als \([-R,R]\times[-R,R]\) ist. Verwenden Sie auf beiden Achsen denselben Maßstab, da identische Blütenblätter sonst gestreckt erscheinen können.
Häufige Fehler
- Den gewöhnlichen Funktionsmodus statt des Polarmodus verwenden.
- Grad- und Bogenmaß vermischen.
- Bei geradem \(n\) nur \(n\) Blütenblätter erwarten.
- Einen negativen Radius als ungültig ansehen.
- Ein Winkelintervall verwenden, das zu kurz ist, um die Kurve zu vollenden.
Experimentieren Sie im Grafikrechner. Zum Vergleich polarer und kartesischer Beschreibungen lesen Sie Kreise, Ellipsen und implizite Gleichungen.