Viele wichtige Kurven lassen sich nicht global durch eine einzelne Funktion \(y=f(x)\) darstellen. Ein Kreis besitzt beispielsweise für die meisten x-Werte zwei y-Werte. Im Modus für implizite Gleichungen können Sie eine Relation der Form
\[F(x,y)=0\]
zeichnen, ohne die Gleichung vollständig nach einer Variablen auflösen zu müssen.
1. Einen Kreis zeichnen
Ein Kreis mit Mittelpunkt \((h,k)\) und Radius \(r\) hat die Gleichung
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2.\]
Für einen Kreis mit Mittelpunkt \((2,-1)\) und Radius 3 verwenden Sie den impliziten Modus und geben ein:
(x-2)^2+(y+1)^2=9
Ein Fenster mit \(-2\le x\le6\) und \(-5\le y\le3\) lässt ausreichend Rand um die Kurve.
2. Eine Ellipse zeichnen
Eine Ellipse, deren Achsen parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen, hat die Normalform
\[\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.\]
Geben Sie
(x-1)^2/4+(y+2)^2/9=1
ein, um eine Ellipse mit Mittelpunkt \((1,-2)\), horizontaler Halbachse 2 und vertikaler Halbachse 3 zu zeichnen. Ihre Hauptscheitel sind \((1,-5)\) und \((1,1)\); ihre Nebenscheitel sind \((-1,-2)\) und \((3,-2)\).
3. Warum das Auflösen nach y oft unpraktisch ist
Die Kreisgleichung \(x^2+y^2=9\) kann zerlegt werden in
\[y=\sqrt{9-x^2}\qquad\text{und}\qquad y=-\sqrt{9-x^2}.\]
Diese Methode funktioniert, erfordert jedoch zwei Funktionsobjekte und die Definitionsbereichsbeschränkung \(-3\le x\le3\). Die implizite Gleichung ist kürzer und erhält die Symmetrie automatisch.
4. Allgemeinere implizite Kurven zeichnen
Der implizite Modus kann auch Kurven darstellen wie
- \(x^3+y^3=3xy\), das kartesische Blatt;
- \(x^2y+y^3=x\);
- \((x^2+y^2-1)^3-x^2y^3=0\), eine herzförmige algebraische Kurve.
Komplexe implizite Kurven benötigen möglicherweise eine kleinere Rasterweite oder eine höhere Darstellungsqualität, damit schmale Zweige korrekt angezeigt werden.
5. Einen Kegelschnitt drehen
Eine allgemeine quadratische Relation kann einen Term \(xy\) enthalten:
\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.\]
Wenn \(B\ne0\), sind die Hauptachsen meist gegenüber den Koordinatenachsen gedreht. Die implizite Darstellung vermeidet die langen Umformungen zum Auflösen nach y, auch wenn die analytische Klassifikation weiterhin von den Koeffizienten und der Diskriminante \(B^2-4AC\) abhängt.
6. Das Innere eines Kegelschnitts schraffieren
Ersetzen Sie die Gleichung durch eine Ungleichung, um ein Gebiet zu beschreiben. Beispielsweise ist
\[x^2+y^2\le9\]
die abgeschlossene Kreisscheibe mit Radius 3. Verwenden Sie das Werkzeug zum Schraffieren von Graphen, wenn Sie Farbe, Deckkraft oder ein von mehreren Kurven begrenztes Gebiet benötigen.
Häufige Fehler
- Einen Kreis im gewöhnlichen Modus \(y=f(x)\) eingeben.
- Klammern um verschobene Koordinaten vergessen.
- Unterschiedliche Achsenmaßstäbe verwenden und einen Kreis für eine Ellipse halten.
- Ein Fenster wählen, das Scheitel oder isolierte Komponenten abschneidet.
- Annehmen, jede implizite Kurve bestehe den Vertikallinientest.
Öffnen Sie den Grafikrechner und vergleichen Sie implizite, parametrische und explizite Darstellungen. Für parametrisierte Kegelschnitte lesen Sie Parameterdarstellungen.