重要な曲線の中には、全体を1つの関数 \(y=f(x)\) として表せないものが多くあります。たとえば円では、ほとんどのxの値に対して2つのyの値があります。陰方程式モードを使うと、関係式を1つの変数について解かなくても
\[F(x,y)=0\]
の形のままグラフ化できます。
1. 円を描く
中心が \((h,k)\)、半径が \(r\) の円の方程式は
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2.\]
です。中心が \((2,-1)\)、半径が3の円では、陰方程式モードで
(x-2)^2+(y+1)^2=9
と入力します。\(-2\le x\le6\)、\(-5\le y\le3\) などの範囲にすると、曲線の周りに十分な余白ができます。
2. 楕円を描く
座標軸に平行な楕円の標準形は
\[\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.\]
です。
(x-1)^2/4+(y+2)^2/9=1
と入力すると、中心が \((1,-2)\)、水平半径が2、垂直半径が3の楕円を描きます。頂点は \((1,-5)\) と \((1,1)\)、副頂点は \((-1,-2)\) と \((3,-2)\) です。
3. yについて解くと不便な理由
円の方程式 \(x^2+y^2=9\) は、
\[y=\sqrt{9-x^2}\qquad\text{および}\qquad y=-\sqrt{9-x^2}.\]
の2つに分けられます。この方法でも描けますが、2つの関数オブジェクトと \(-3\le x\le3\) という定義域制限が必要です。陰方程式なら短く書け、対称性も自動的に保たれます。
4. より一般的な陰曲線を描く
陰方程式モードでは、次のような曲線も表示できます。
- \(x^3+y^3=3xy\)：デカルトの葉線。
- \(x^2y+y^3=x\)。
- \((x^2+y^2-1)^3-x^2y^3=0\)：ハート形の代数曲線。
複雑な陰曲線では、細い枝を正確に表示するために格子間隔を小さくするか、描画品質を高くする必要があります。
5. 回転した円錐曲線
一般の2次関係式には \(xy\) の項が含まれることがあります。
\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.\]
\(B\ne0\) のとき、主軸は通常、座標軸に対して回転しています。陰関数グラフならyについて解く長い計算を避けられますが、解析的な分類には係数と判別式 \(B^2-4AC\) を使います。
6. 円錐曲線の内部を塗る
等号を不等号に置き換えると領域を表せます。たとえば、
\[x^2+y^2\le9\]
は半径3の閉円板です。色、透明度、複数の曲線で囲まれた領域を設定する場合は、グラフの塗りつぶしツールを使ってください。
よくある間違い
- 円を通常の \(y=f(x)\) モードに入力しようとする。
- 平行移動した座標の括弧を忘れる。
- 軸の縮尺が異なるため、円を楕円と誤認する。
- 頂点や孤立した成分を切り取る表示範囲を選ぶ。
- すべての陰曲線が垂直線判定を満たすと考える。
グラフ電卓を開き、陰関数表示、媒介変数表示、陽関数表示を比較してください。媒介変数による円錐曲線については、媒介変数方程式を参照してください。