Muchas curvas importantes no pueden representarse globalmente mediante una sola función \(y=f(x)\). Una circunferencia, por ejemplo, tiene dos valores de y para la mayoría de los valores de x. El modo de ecuación implícita permite graficar una relación escrita como
\[F(x,y)=0\]
sin tener que despejar por completo una de las variables.
1. Grafica una circunferencia
Una circunferencia con centro \((h,k)\) y radio \(r\) tiene la ecuación
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2.\]
Para una circunferencia con centro \((2,-1)\) y radio 3, utiliza el modo implícito e introduce
(x-2)^2+(y+1)^2=9
Una ventana como \(-2\le x\le6\) y \(-5\le y\le3\) deja margen suficiente alrededor de la curva.
2. Grafica una elipse
Una elipse cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados tiene la forma canónica
\[\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.\]
Introduce
(x-1)^2/4+(y+2)^2/9=1
para dibujar una elipse con centro \((1,-2)\), semieje horizontal 2 y semieje vertical 3. Sus vértices principales son \((1,-5)\) y \((1,1)\); sus co-vértices son \((-1,-2)\) y \((3,-2)\).
3. Por qué despejar y suele ser poco práctico
La ecuación de la circunferencia \(x^2+y^2=9\) puede dividirse en
\[y=\sqrt{9-x^2}\qquad\text{y}\qquad y=-\sqrt{9-x^2}.\]
Este método funciona, pero requiere dos objetos de función y una restricción de dominio \(-3\le x\le3\). La ecuación implícita es más breve y conserva automáticamente la simetría.
4. Grafica curvas implícitas más generales
El modo implícito también puede mostrar curvas como
- \(x^3+y^3=3xy\), el folio de Descartes;
- \(x^2y+y^3=x\);
- \((x^2+y^2-1)^3-x^2y^3=0\), una curva algebraica con forma de corazón.
Las curvas implícitas complejas pueden necesitar un paso de cuadrícula menor o una calidad de representación superior para mostrar correctamente las ramas estrechas.
5. Rota una cónica
Una relación cuadrática general puede contener un término \(xy\):
\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.\]
Cuando \(B\ne0\), los ejes principales suelen estar girados respecto de los ejes coordenados. La representación implícita evita los cálculos largos necesarios para despejar y, aunque la clasificación analítica sigue dependiendo de los coeficientes y del discriminante \(B^2-4AC\).
6. Sombrea el interior de una cónica
Sustituye la igualdad por una desigualdad para describir una región. Por ejemplo,
\[x^2+y^2\le9\]
es el disco cerrado de radio 3. Utiliza la herramienta de sombreado de regiones cuando necesites controlar el color, la opacidad o una región delimitada por varias curvas.
Errores frecuentes
- Intentar introducir una circunferencia en el modo ordinario \(y=f(x)\).
- Olvidar los paréntesis alrededor de las coordenadas trasladadas.
- Usar escalas distintas en los ejes y confundir una circunferencia con una elipse.
- Elegir una ventana que recorte vértices o componentes aisladas.
- Suponer que toda curva implícita satisface la prueba de la recta vertical.
Abre la calculadora gráfica y compara las representaciones implícita, paramétrica y explícita. Para las cónicas parametrizadas, consulta las ecuaciones paramétricas.