वृत्त, दीर्घवृत्त और अव्यक्त समीकरणों का आलेख कैसे बनाएँ

कई महत्वपूर्ण वक्रों को पूरे परिभाषा-क्षेत्र में एक फलन \(y=f(x)\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। उदाहरणतः अधिकांश x-मानों के लिए वृत्त के दो y-मान होते हैं। अव्यक्त समीकरण मोड आपको

\[F(x,y)=0\]

रूप में लिखे संबंध का आलेख बनाने देता है, बिना पूरे संबंध को किसी एक चर के लिए हल किए।

1. वृत्त का आलेख बनाएँ

\((h,k)\) केंद्र और \(r\) त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण है

\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2.\]

\((2,-1)\) केंद्र और 3 त्रिज्या वाले वृत्त के लिए अव्यक्त मोड में दर्ज करें

(x-2)^2+(y+1)^2=9

\(-2\le x\le6\) और \(-5\le y\le3\) जैसा विंडो वक्र के चारों ओर पर्याप्त स्थान देता है।

2. दीर्घवृत्त का आलेख बनाएँ

निर्देशांक अक्षों के समानांतर अक्षों वाले दीर्घवृत्त का मानक रूप है

\[\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.\]

दर्ज करें

(x-1)^2/4+(y+2)^2/9=1

इससे \((1,-2)\) केंद्र, क्षैतिज अर्ध-अक्ष 2 और ऊर्ध्व अर्ध-अक्ष 3 वाला दीर्घवृत्त बनता है। इसके शीर्ष \((1,-5)\) और \((1,1)\), तथा सह-शीर्ष \((-1,-2)\) और \((3,-2)\) हैं।

3. y के लिए हल करना अक्सर असुविधाजनक क्यों है

वृत्त \(x^2+y^2=9\) को दो भागों में लिखा जा सकता है

\[y=\sqrt{9-x^2}\qquad\text{और}\qquad y=-\sqrt{9-x^2}.\]

यह सही है, पर दो फलन-वस्तुएँ और \(-3\le x\le3\) का परिभाषा-क्षेत्र प्रतिबंध चाहिए। अव्यक्त समीकरण छोटा है और सममिति को स्वतः बनाए रखता है।

4. अधिक सामान्य अव्यक्त वक्र बनाएँ

अव्यक्त मोड ऐसे वक्र भी दिखा सकता है:

• \(x^3+y^3=3xy\), देकार्त का फोलियम;
• \(x^2y+y^3=x\);
• \((x^2+y^2-1)^3-x^2y^3=0\), हृदयाकार बीजीय वक्र।

जटिल अव्यक्त वक्रों की संकरी शाखाएँ सही दिखाने के लिए छोटा ग्रिड-चरण या उच्च गुणवत्ता सेटिंग आवश्यक हो सकती है।

5. घुमाए हुए शंकु-खंड का आलेख बनाएँ

सामान्य द्विघात संबंध में \(xy\) पद हो सकता है:

\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.\]

जब \(B\ne0\), मुख्य अक्ष सामान्यतः निर्देशांक अक्षों के सापेक्ष घुमे होते हैं। अव्यक्त आलेखन y के लिए हल करने वाले लंबे बीजगणित से बचाता है, यद्यपि विश्लेषणात्मक वर्गीकरण गुणांकों और विविक्तकर \(B^2-4AC\) पर निर्भर रहता है।

6. शंकु-खंड के भीतर छायांकन करें

किसी क्षेत्र को दर्शाने के लिए समानता को असमिका से बदलें। उदाहरणतः

\[x^2+y^2\le9\]

त्रिज्या 3 की बंद चक्रिका है। रंग, अपारदर्शिता या कई वक्रों से घिरा क्षेत्र चाहिए तो ग्राफ़ शेडिंग उपकरण का उपयोग करें।

सामान्य त्रुटियाँ

• सामान्य \(y=f(x)\) मोड में वृत्त दर्ज करने का प्रयास करना।
• स्थानांतरित निर्देशांकों के चारों ओर कोष्ठक भूलना।
• असमान अक्ष-मापनी से वृत्त को दीर्घवृत्त समझ लेना।
• ऐसा दृश्य-विंडो चुनना जो शीर्षों या अलग घटकों को काट दे।
• यह मानना कि हर अव्यक्त वक्र ऊर्ध्व रेखा परीक्षण पास करता है।

ग्राफ़िंग कैलकुलेटर में अव्यक्त, प्राचलिक और व्यक्त रूपों की तुलना करें। प्राचल-आधारित शंकु-खंडों के लिए प्राचलिक समीकरण देखें।