Nhiều đường cong quan trọng không thể biểu diễn trên toàn miền bằng một hàm duy nhất \(y=f(x)\). Chẳng hạn, với hầu hết giá trị x, đường tròn có hai giá trị y. Chế độ phương trình ẩn cho phép vẽ một quan hệ viết dưới dạng
\[F(x,y)=0\]
mà không cần giải toàn bộ quan hệ theo một biến.
1. Vẽ đường tròn
Đường tròn tâm \((h,k)\), bán kính \(r\) có phương trình
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2.\]
Với đường tròn tâm \((2,-1)\), bán kính 3, hãy dùng chế độ ẩn và nhập
(x-2)^2+(y+1)^2=9
Cửa sổ như \(-2\le x\le6\) và \(-5\le y\le3\) để lại khoảng trống hợp lý quanh đường cong.
2. Vẽ elip
Elip có các trục song song với trục tọa độ có dạng chuẩn
\[\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.\]
Nhập
(x-1)^2/4+(y+2)^2/9=1
để vẽ elip tâm \((1,-2)\), bán trục ngang 2 và bán trục đứng 3. Các đỉnh trên trục lớn là \((1,-5)\) và \((1,1)\); các đỉnh trên trục nhỏ là \((-1,-2)\) và \((3,-2)\).
3. Vì sao giải theo y thường bất tiện
Phương trình đường tròn \(x^2+y^2=9\) có thể tách thành
\[y=\sqrt{9-x^2}\qquad\text{và}\qquad y=-\sqrt{9-x^2}.\]
Cách này đúng nhưng cần hai đối tượng hàm số và giới hạn tập xác định \(-3\le x\le3\). Phương trình ẩn ngắn hơn và tự bảo toàn tính đối xứng.
4. Vẽ các đường cong ẩn tổng quát hơn
Chế độ ẩn còn có thể hiển thị những đường cong như
- \(x^3+y^3=3xy\), lá Descartes;
- \(x^2y+y^3=x\);
- \((x^2+y^2-1)^3-x^2y^3=0\), một đường cong đại số hình trái tim.
Đường cong ẩn phức tạp có thể cần bước lưới nhỏ hơn hoặc mức chất lượng cao hơn để thể hiện chính xác các nhánh hẹp.
5. Xoay một đường conic
Quan hệ bậc hai tổng quát có thể chứa số hạng \(xy\):
\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.\]
Khi \(B\ne0\), các trục chính thường bị xoay so với hệ trục tọa độ. Vẽ ẩn giúp tránh phép biến đổi đại số dài để giải theo y, mặc dù việc phân loại giải tích vẫn phụ thuộc các hệ số và biệt thức \(B^2-4AC\).
6. Tô miền bên trong đường conic
Thay dấu bằng bằng bất đẳng thức để mô tả một miền. Chẳng hạn,
\[x^2+y^2\le9\]
là hình tròn đặc bán kính 3. Hãy dùng công cụ Tô miền đồ thị khi cần màu sắc, độ mờ hoặc miền được giới hạn bởi nhiều đường cong.
Lỗi thường gặp
- Cố nhập đường tròn trong chế độ thông thường \(y=f(x)\).
- Quên ngoặc quanh các tọa độ đã tịnh tiến.
- Dùng tỉ lệ hai trục không bằng nhau rồi nhìn đường tròn thành elip.
- Chọn cửa sổ quan sát làm cắt mất đỉnh hoặc thành phần cô lập.
- Cho rằng mọi đường cong ẩn đều vượt qua phép kiểm tra đường thẳng đứng.
Mở Máy tính vẽ đồ thị và so sánh các cách biểu diễn ẩn, tham số và tường minh. Với đường conic theo tham số, hãy xem phương trình tham số.