Phương trình tham số biểu diễn cả hai tọa độ theo một biến thứ ba, thường là \(t\):
\[x=x(t),\qquad y=y(t).\]
Dạng này đặc biệt hữu ích với đường tròn, elip, đường cycloid, đường có vòng lặp và những đường cong khó hoặc không thể biểu diễn bằng một hàm duy nhất \(y=f(x)\).
1. Bắt đầu với đường tròn đơn vị
Tham số hóa chuẩn
\[x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad 0\le t\le2\pi\]
vạch đường tròn đơn vị đúng một vòng theo chiều ngược kim đồng hồ, bắt đầu tại \((1,0)\). Trong chế độ đồ thị tham số, nhập cos(t) cho \(x(t)\) và sin(t) cho \(y(t)\), rồi đặt khoảng tham số từ \(0\) đến \(2\pi\).
2. Hiểu vai trò của khoảng tham số
Chỉ riêng các công thức chưa quyết định phần nào của đường cong được hiển thị. Với đường tròn:
- \(0\le t\le\pi\) chỉ vẽ nửa đường tròn phía trên.
- \(-\pi/2\le t\le\pi/2\) vẽ nửa đường tròn bên phải.
- \(0\le t\le4\pi\) vạch cùng một đường tròn hai lần.
Hãy chọn khoảng nhỏ nhất biểu diễn trọn đường cong mong muốn mà không lặp lại không cần thiết.
3. Vẽ một elip
Elip tâm \((h,k)\), bán trục ngang \(a\) và bán trục đứng \(b\) có thể được tham số hóa bởi
\[x(t)=h+a\cos t,\qquad y(t)=k+b\sin t.\]
Với elip tâm \((1,-2)\), hai bán trục bằng 3 và 2, hãy nhập:
1+3*cos(t)-2+2*sin(t)
Dùng cùng tỉ lệ trên hai trục khi kiểm tra hình dạng. Tỉ lệ hiển thị không bằng nhau có thể làm một đường tròn thật trông giống elip.
4. Xác định chiều chạy và vận tốc
Tham số cung cấp nhiều thông tin hơn quỹ tích hình học. Vectơ vận tốc là
\[\mathbf v(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr).\]
Với đường tròn đơn vị, \(\mathbf v(t)=(-\sin t,\cos t)\). Tại \(t=0\), điểm đang xét là \((1,0)\) và vectơ vận tốc hướng lên trên, xác nhận chuyển động ngược chiều kim đồng hồ. Thay \(\sin t\) bằng \(-\sin t\) sẽ đảo chiều.
5. Ví dụ: đường cong Lissajous
Hãy thử
\[x(t)=\sin(3t),\qquad y(t)=\sin(2t),\qquad 0\le t\le2\pi.\]
Nhập sin(3*t) và sin(2*t). Tỉ số tần số quyết định số thùy. Chỉ một thay đổi nhỏ của các hệ số cũng có thể tạo ra hình kín rất khác.
6. Tránh bỏ mất chi tiết
Đường cong dao động nhanh hoặc đổi hướng gấp cần đủ số điểm lấy mẫu. Nếu đường cong trông như đa giác, có khoảng đứt hoặc cắt ngang một vòng lặp, hãy giảm bước tham số hoặc tăng chất lượng dựng hình nếu có tùy chọn này. Đồng thời kiểm tra rằng khoảng tham số được tính theo radian, trừ khi công cụ đã được đặt rõ ràng ở chế độ độ.
Lỗi thường gặp
- Nhập cả hai công thức vào ô chuẩn \(y=f(x)\).
- Dùng độ trong công thức khi đồ thị đang hiểu radian.
- Chọn khoảng chỉ vẽ được một phần đường cong.
- Dùng tỉ lệ hai trục không bằng nhau rồi đọc sai hình học.
- Bỏ qua chiều mà đường cong được vạch.
Mở Máy tính vẽ đồ thị và so sánh các ví dụ đường tròn, elip và Lissajous. Để chuyển sang một hệ tọa độ khác, hãy đọc tiếp phương trình cực và đường hoa hồng.