Параметрические уравнения задают обе координаты через третью переменную, обычно \(t\):
\[x=x(t),\qquad y=y(t).\]
Они особенно удобны для окружностей, эллипсов, циклоид, петель и кривых, которые трудно или невозможно представить одной функцией \(y=f(x)\).
1. Начните с единичной окружности
Стандартная параметризация
\[x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad 0\le t\le2\pi\]
обходит единичную окружность один раз против часовой стрелки, начиная с точки \((1,0)\). В параметрическом режиме введите cos(t) для \(x(t)\) и sin(t) для \(y(t)\), затем установите интервал параметра от \(0\) до \(2\pi\).
2. Поймите роль интервала параметра
Одни только формулы не определяют, какая часть кривой будет показана. Для окружности:
- \(0\le t\le\pi\) строит только верхнюю полуокружность.
- \(-\pi/2\le t\le\pi/2\) строит правую полуокружность.
- \(0\le t\le4\pi\) обходит ту же окружность дважды.
Выбирайте наименьший интервал, который полностью задаёт нужную кривую без лишнего повторения.
3. Постройте эллипс
Эллипс с центром \((h,k)\), горизонтальной полуосью \(a\) и вертикальной полуосью \(b\) можно задать так:
\[x(t)=h+a\cos t,\qquad y(t)=k+b\sin t.\]
Для эллипса с центром \((1,-2)\) и полуосями 3 и 2 введите:
1+3*cos(t)-2+2*sin(t)
При проверке формы используйте одинаковый масштаб по обеим осям. Неравные масштабы экрана могут сделать настоящую окружность похожей на эллипс.
4. Определите направление обхода и скорость
Параметр сообщает больше, чем только геометрическая траектория. Вектор скорости равен
\[\mathbf v(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr).\]
Для единичной окружности \(\mathbf v(t)=(-\sin t,\cos t)\). При \(t=0\) точка равна \((1,0)\), а скорость направлена вверх, что подтверждает движение против часовой стрелки. Замена \(\sin t\) на \(-\sin t\) меняет направление на противоположное.
5. Пример: фигура Лиссажу
Попробуйте
\[x(t)=\sin(3t),\qquad y(t)=\sin(2t),\qquad 0\le t\le2\pi.\]
Введите sin(3*t) и sin(2*t). Отношение частот определяет число лепестков. Даже небольшое изменение коэффициентов может дать совсем другой замкнутый узор.
6. Не теряйте мелкие детали
Кривым с быстрыми колебаниями или резкими поворотами требуется достаточное число точек. Если линия выглядит ломаной, содержит разрывы или пересекает петлю по хорде, уменьшите шаг параметра либо повысьте качество отображения, если такая настройка доступна. Также убедитесь, что интервал задан в радианах, если инструмент явно не переключён на градусы.
Типичные ошибки
- Ввод обеих формул в обычное поле \(y=f(x)\).
- Использование градусов, когда график ожидает радианы.
- Выбор интервала, который строит только часть кривой.
- Неравный масштаб осей и неверное восприятие геометрии.
- Игнорирование направления обхода кривой.
Откройте графический калькулятор и сравните окружность, эллипс и фигуру Лиссажу. Для другой системы координат перейдите к полярным уравнениям и розам.