Equações paramétricas descrevem as duas coordenadas por meio de uma terceira variável, normalmente \(t\):
\[x=x(t),\qquad y=y(t).\]
Elas são especialmente úteis para circunferências, elipses, cicloides, laços e curvas difíceis ou impossíveis de expressar como uma única função \(y=f(x)\).
1. Comece pela circunferência unitária
A parametrização padrão
\[x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad 0\le t\le2\pi\]
percorre uma vez a circunferência unitária no sentido anti-horário, começando em \((1,0)\). No modo paramétrico, digite cos(t) para \(x(t)\) e sin(t) para \(y(t)\), depois defina o intervalo do parâmetro de \(0\) a \(2\pi\).
2. Entenda o papel do intervalo do parâmetro
As fórmulas, sozinhas, não determinam quanto da curva será mostrado. Para a circunferência:
- \(0\le t\le\pi\) desenha apenas a semicircunferência superior.
- \(-\pi/2\le t\le\pi/2\) desenha a semicircunferência direita.
- \(0\le t\le4\pi\) percorre a mesma circunferência duas vezes.
Escolha o menor intervalo que represente toda a curva desejada sem repetições desnecessárias.
3. Represente uma elipse
Uma elipse de centro \((h,k)\), semieixo horizontal \(a\) e semieixo vertical \(b\) pode ser parametrizada por
\[x(t)=h+a\cos t,\qquad y(t)=k+b\sin t.\]
Para uma elipse de centro \((1,-2)\) e semieixos 3 e 2, digite:
1+3*cos(t)-2+2*sin(t)
Use a mesma escala nos dois eixos ao verificar a forma. Escalas diferentes na tela podem fazer uma circunferência verdadeira parecer uma elipse.
4. Analise o sentido de percurso e a velocidade
O parâmetro fornece mais informação que o simples lugar geométrico. O vetor velocidade é
\[\mathbf v(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr).\]
Para a circunferência unitária, \(\mathbf v(t)=(-\sin t,\cos t)\). Em \(t=0\), o ponto é \((1,0)\) e a velocidade aponta para cima, confirmando o sentido anti-horário. Substituir \(\sin t\) por \(-\sin t\) inverte o sentido.
5. Exemplo: uma curva de Lissajous
Experimente
\[x(t)=\sin(3t),\qquad y(t)=\sin(2t),\qquad 0\le t\le2\pi.\]
Digite sin(3*t) e sin(2*t). A razão entre as frequências controla o número de lóbulos. Pequenas alterações nos coeficientes podem produzir padrões fechados muito diferentes.
6. Evite perder detalhes
Curvas com oscilações rápidas ou mudanças bruscas de direção precisam de pontos de amostragem suficientes. Se a curva parecer poligonal, apresentar lacunas ou atravessar um laço, reduza o passo do parâmetro ou aumente a qualidade de renderização, se essa opção estiver disponível. Verifique também se o intervalo está em radianos, salvo quando a ferramenta estiver explicitamente configurada em graus.
Erros comuns
- Inserir as duas fórmulas em um campo padrão \(y=f(x)\).
- Usar graus quando o gráfico espera radianos.
- Escolher um intervalo que desenha apenas parte da curva.
- Usar escalas diferentes nos eixos e interpretar incorretamente a geometria.
- Ignorar o sentido em que a curva é percorrida.
Abra a Calculadora Gráfica e compare os exemplos da circunferência, da elipse e de Lissajous. Para outro sistema de coordenadas, continue com equações polares e curvas rosa.