Coordenadas polares localizam um ponto por um raio \(r\) e um ângulo \(\theta\), em vez das coordenadas cartesianas \((x,y)\). As fórmulas de conversão são
\[x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.\]
Um gráfico polar costuma ser escrito como \(r=f(\theta)\). No OnlineGraphing, o parâmetro angular pode ser inserido como \(t\); assim, uma fórmula como \(r=3\cos(4\theta)\) pode ser digitada como 3*cos(4*t) no modo polar.
1. Represente uma circunferência básica
A equação \(r=2\) fornece uma circunferência de raio 2 centrada na origem. Quando o ângulo varia de \(0\) a \(2\pi\), o raio permanece constante.
A equação \(r=2\cos\theta\) fornece outra circunferência:
\[r^2=2r\cos\theta\Longrightarrow x^2+y^2=2x\Longrightarrow (x-1)^2+y^2=1.\]
Ela tem centro \((1,0)\) e raio 1.
2. Preveja o número de pétalas de uma curva rosa
Curvas rosa têm a forma
\[r=a\cos(n\theta)\quad\text{ou}\quad r=a\sin(n\theta).\]
- Se \(n\) é ímpar, a curva tem \(n\) pétalas.
- Se \(n\) é par, a curva tem \(2n\) pétalas.
- O valor absoluto \(|a|\) é o comprimento máximo de cada pétala.
Portanto, \(r=3\cos(4\theta)\) tem oito pétalas, cada uma atingindo raio 3. Digite 3*cos(4*t) e use um intervalo como \(0\le t\le2\pi\).
3. Entenda o raio negativo
Quando \(r<0\), o ponto é colocado na direção oposta ao ângulo. Especificamente, \((r,\theta)\) representa o mesmo ponto que \((-r,\theta+\pi)\). Raio negativo não é erro; é o que permite que muitas curvas polares formem laços e pétalas alternadas.
4. Use a simetria antes de desenhar
Testes comuns de simetria:
- Substitua \(\theta\) por \(-\theta\) para testar simetria em relação ao eixo polar.
- Substitua \(\theta\) por \(\pi-\theta\) para testar simetria em relação ao eixo vertical.
- Substitua \(\theta\) por \(\theta+\pi\) para testar simetria em relação à origem.
Esses testes ajudam a prever a curva completa e mostram se um intervalo angular menor pode percorrê-la por inteiro.
5. Exemplo: um limaçon com laço interno
Experimente \(r=1+2\cos\theta\), digitado como 1+2*cos(t). Como o coeficiente do cosseno é maior que o termo constante, o raio se torna negativo durante parte do ciclo, criando um laço interno.
6. Escolha uma janela adequada
Para uma curva de raio máximo \(R\), uma janela cartesiana um pouco maior que \([-R,R]\times[-R,R]\) costuma ser apropriada. Mantenha a mesma escala nos dois eixos; caso contrário, pétalas que deveriam ser idênticas podem parecer alongadas.
Erros comuns
- Usar o modo de função padrão em vez do modo polar.
- Misturar graus e radianos.
- Esperar que um valor par de \(n\) produza apenas \(n\) pétalas.
- Considerar inválido um raio negativo.
- Usar um intervalo angular curto demais para completar a curva.
Experimente na Calculadora Gráfica. Para comparar descrições polares e cartesianas, leia circunferências, elipses e equações implícitas.